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Komplexe Zahlen im Argument von Sinus

Schüler Gymnasium,

Tags: Kompl, Komplexe Zahlen, Trigonometrie

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Gundam6

Gundam6 aktiv_icon

22:39 Uhr, 10.11.2013

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Bekanntlich ist

| sin

(x)|<= 1 fur alle

x \in R

. Zeigen Sie, dass dies für komplexe Argumente nicht mehr gilt.
Nehmen Sie dazu an, dass es ein

C > 0

gibt, so dass

| sin (x) | \leq C

fur alle

z \in C

erfullt ist, und konstruieren
Sie ein

z,

welches dieser Ungleichung widerspricht.

Mein Problem ist dass ich nicht weiß wie ich sowas vorstellen soll. Wie verhält sich denn die Sinuskurve bei komplexen Argumenten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Bummerang

22:46 Uhr, 10.11.2013

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Hallo,

da gibt es doch die Formel

sin (x) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})

die gilt auch für komplexe Zahlen!

Gundam6

Gundam6 aktiv_icon

22:54 Uhr, 10.11.2013

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Demzufolge :

sin (a + b \cdot i) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot (a + b \cdot i)} - e^{- i \cdot (a + b \cdot i)})

?
Der Term soll also größer gleich eins werden nehme ich an

Gundam6

Gundam6 aktiv_icon

23:04 Uhr, 10.11.2013

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Wie heißt denn diese Formel?

Antwort

Bummerang

23:52 Uhr, 10.11.2013

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Hallo,

sin (a + b \cdot i) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot (a + b \cdot i)} - e^{- i \cdot (a + b \cdot i)})

= \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{(a \cdot i - b)} - e^{(- a \cdot i + b)})

= \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (\frac{e^{a \cdot i}}{e^{b}} - \frac{e^{b}}{e^{a \cdot i}})

Der Betrag des Sinus einer rein imaginären komplexen Zahl

(a = 0),

ergibt sich dabei als

| sin (b \cdot i) | = \frac{1}{2} \cdot | \frac{1}{e^{b}} - e^{b} |

Der Wert

\frac{1}{e^{b}}

ist für positive

b

kleiner als 1 und der Wert

- e^{b}

lässt sich unter jede Grenze bringen, so dass der gesamte Betrag beliebig groß werden kann.

Antwort

Bummerang

00:01 Uhr, 11.11.2013

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Hallo,

ob diese Formel einen eigenen Namen hat, weiss ich nicht, sie ist aber eine Folgerung aus

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

Denn es gilt dann auch

e^{- i \cdot x} = cos (- x) + i \cdot sin (- x) = cos (x) - i \cdot sin (x)

\Rightarrow e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x) - cos (x) + i \cdot sin (x) = 2 \cdot i \cdot sin (x)

Und daraus folgt unmittelbar die oben genannte Formel!

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