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Koordinaten aus Vektor,Winkel und Länge berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Koordinaten, Länge, Vektor, Vektrorrechnung, Winkel

Alf-1 aktiv_icon

15:46 Uhr, 18.01.2016

Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Gegeben ist ein Vektor, ein Winkel zu diesem Vektor und die Länge eines neues Vektors.
Gesucht sind die Koordinaten des Endpunkt des neuen Vektors, der an dem Endpunkt des gegebenen Vektors

v 1

mit einem Winkel

α

und einer Länge

l

anschließt.
Ich hoffe folgende Skizze veranschaulicht den Sachverhalt.

Wie berechne ich die Koordinaten des Endpunkts des neuen Vektors ?

Gruß
Alf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

19:02 Uhr, 18.01.2016

geg:

\vec{v_{1}} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}), l

und

α

ges:

\vec{v_{2}}

Berechne erst

\vec{n} = (\begin{matrix} | v_{1} | + l \cdot cos (α) \\ l \cdot sin (α) \end{matrix})

Multipliziere diesen mit der Drehmatrix

R = \frac{1}{| v_{1} |} \cdot (\begin{matrix} x_{1} & - y_{1} \\ y_{1} & x_{1} \end{matrix})

Dann erhälst du den Ortsvektor deines gesuchten Punktes.

Es ist also:

\vec{v_{2}} = R \cdot \vec{n} = \frac{1}{| v_{1} |} \cdot (\begin{matrix} x_{1} & - y_{1} \\ y_{1} & x_{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} | v_{1} | + l \cdot cos (α) \\ l \cdot sin (α) \end{matrix})

\vec{v_{2}} = (\begin{matrix} x_{1} \cdot | v_{1} | + x_{1} \cdot l \cdot cos (α) - y_{1} \cdot l \cdot sin (α) \\ y_{1} \cdot | v_{1} | + y_{1} \cdot l \cdot cos (α) + x_{1} \cdot l \cdot sin (α) \end{matrix})

:-)

Alf-1 aktiv_icon

23:26 Uhr, 18.01.2016

Danke für deine Antwort :-)
Ich hab die Formel mal an einem gezeichneten Beispiel ausprobiert, hat aber leider nicht funktioniert

: (

x_{1}

und

y_{1}

sind von

\vec{n}

gemeint oder ?

| \vec{v_{1}} |

ist die Länge von

v_{1}

?
Müsste die endgültige Formel nicht

\vec{v_{2}} = \frac{1}{| \vec{v_{1}} |} \cdot (\begin{matrix} x_{1} \cdot (| \vec{v_{1}} | + l \cdot cos (α)) - y_{1} \cdot l \cdot sin (α) \\ y_{1} \cdot (| \vec{v_{1}} | + l \cdot cos (α)) + x_{1} \cdot l \cdot sin (α) \end{matrix})

lauten ?

Edddi aktiv_icon

06:07 Uhr, 19.01.2016

. .

. in meinem Beispiel hat sie sehr gut funktioniert. Wie unter "geg." dargestellt ist

\vec{v_{1}} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})

und damit

x_{1}

und

y_{1}

von

\vec{v_{1}}

.

Auf jeden Fall stimmen die Werte in der Drehmatrix, solange

\vec{v_{1}}

im 1. Quadranten liegt (wie in deinem Beispiel).

Ich prüf das nachher mal schnell noch für die anderen Quadranten.

:-)

Edddi aktiv_icon

07:41 Uhr, 19.01.2016

Übrigens ist deine Lösung mit meiner identisch, ich habe nur ausmultipliziert.

Die Drematrix gilt für alle Quadranten. Somit ist die Lösung korrekt.

Mein Beispiel im Anhang:

\vec{v_{2}} = \frac{1}{| \vec{v_{1}} |} \cdot (\begin{matrix} x_{1} \cdot | \vec{v_{1}} | + x_{1} \cdot l \cdot cos (α) - y_{1} \cdot l \cdot sin (α) \\ y_{1} \cdot | \vec{v_{1}} | + y_{1} \cdot l \cdot cos (α) + x_{1} \cdot l \cdot sin (α) \end{matrix})

\vec{v_{2}} = \frac{1}{4,47} \cdot (\begin{matrix} - 4 \cdot 4,47 + (- 4) \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- 2) \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \\ (- 2) \cdot 4,47 + (- 2) \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (- 4) \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \end{matrix})

\vec{v_{2}} = \frac{1}{4,47} \cdot (\begin{matrix} - 17,88 - 12 \cdot \sqrt{3} + 6 \\ - 8,94 - 6 \cdot \sqrt{3} - 12 \end{matrix}) = \frac{1}{4,47} \cdot (\begin{matrix} - 32,66 \\ - 31,33 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7,31 \\ - 7,01 \end{matrix})

;-)

Alf-1 aktiv_icon

09:23 Uhr, 19.01.2016

Ok, jetzt hats bei meinem Beispiel auch funktioniert :-)
Ich hab bei meiner Beispielrechnung nämlich

x_{1}

und

y_{1}

von

\vec{n}

genommen.
Für was rechne ich dann überhaupt

\vec{n}

aus ?
Btw. Welches Programm verwendest du für die Zeichnungen ?

Gruß
Alf

Edddi aktiv_icon

10:50 Uhr, 19.01.2016

. .

. das mit

\vec{n}

ist nur ein Zwischenschritt (den man eigentlich nicht braucht).

\vec{v_{2}} = R \cdot \vec{n}

\vec{n}

ist aufgelöst ja in der Formel

\vec{v_{2}} = . .

. enthalten.

Zum Zeichnen verwende ich AutoCad (da ich das ja eh an meinem Arbeitsplatz habe)

;-)

Alf-1 aktiv_icon

11:22 Uhr, 21.01.2016

Ok, Autodesk ist mir dann doch zu umfangreich um ein paar kleine Skizzen zu machen :-)

Zum Schluss hätte ich noch die Frage, was ich da eigentlich genau berechene ?
Soweit ich es verstanden habe drehe ich einen Vektor

\vec{n_{1}}

um einen Winkel

α,

und der resultierende Vektor ist dann

\vec{v_{2}}

?
Wie steht

\vec{n_{1}}

in Beziehung zu

\vec{v_{1}}

und

\vec{v_{2}}

?

Gruß
Alf

Edddi aktiv_icon

11:50 Uhr, 21.01.2016

. .

. gedanklich mache ich folgendes:

Ich drehe deinen Vektor

v_{1}

mitsamt dem

l

auf die x-Achse. Dadurch lässt sich leicht der Ortsvektor

\vec{n}

des Endes von

l

bestimmen, da dieser ja nun unter Winkel

α

von der x-Achse im Punkt

| \vec{v_{1}} |

startet.

Die x-Komponente von

\vec{n}

ist also

| \vec{v_{1}} | + l \cdot cos (α)

und die y-Komponente ist

l \cdot sin (α)

Jetzt muss also nur noch der Ortsvektor

\vec{n}

wieder "zurückgedreht" werden. Dieser Winkel ist ja durch die Komponenten von

\vec{v_{1}}

vorgegeben und der Kosinus bzw. Sinus dieses Winkels ist durch die Komponenten direkt gegeben in der Form

\frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

bzw.

\frac{y_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

Da der Nenner

(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) = | \vec{v_{1}} |

in jeder Komponente vorkommt, kann ich ihn also aus der Drehmatrix ausklammern und als skalaren Faktor

\frac{1}{| \vec{v_{1}} |}

vor die Drehmatrix setzen.

Dadurch ergibt sich letztendlich der Oertsvektor

\vec{v_{2}}

des Endpunktes mit:

\vec{v_{2}} = \frac{1}{| \vec{v_{1}} |} \cdot R_{(x_{1}, y_{1})} \cdot \vec{n}

;-)

Alf-1 aktiv_icon

13:26 Uhr, 21.01.2016

Ok alles klar :-)
Danke für deine ausführlichen Antworten !
Du hast mir echt sehr gut weitergeholfen *thumbs up*

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