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Kubische Gleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Input, kubische Funktion, Mitternachtsformel, Output, Polynomdivision

anonymous

23:44 Uhr, 04.12.2018

Guten Abend

Bitte um Hilfe, ich dreh langsam durch.

x)

Es geht um folgendes. In welchem Bereich der Inputmenge liegt der Output über

600

Stück?

Dann wäre das:

M (r) = - r^{3} + 12 r^{2} + 60 r = 600

- r^{3} + 12 r^{2} + 60 r = 600

Minus

600

auf beiden Seiten

- r^{3} + 12 r^{2} + 60 r - 600 = 0

So und nun möchte ich eigentlich die 0 Stelle herausfinden per Raten, aber es gibt keine, wie kann ich also eine Nullstelle herausfinden, welche keine ganze Zahl ist?
Ich kann ja sonst keine Polynomdivision machen...

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Grenzwerte im Unendlichen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

23:45 Uhr, 04.12.2018

Oder auch einfach wie macht man das, wenn man so grosse Zahlen hat wie

600

Roman-22

23:56 Uhr, 04.12.2018

>

wie kann ich also eine Nullstelle herausfinden, welche keine ganze Zahl ist?
Nun, wenn du die exakten Lösungen benötigst wirst du um die unangenehme Lösungsformel von Cardano nicht herum kommen, sofern du kein CAS benutzen darfst.

Ansonsten sollte dir ein Näherungsverfahren eigentlich reichen, zumal

r

ja offenbar positiv und ganzzahlig sein soll.

Hier würde auch eine Zeichnung des Funktionsgraphen gute Dienste leisten, denn da könnte man schnell ablesen, dass eine Nullstelle etwas über 6 liegt und eine andere knapp über

13

. Somit kann man sofort den gefragten Bereich mit

[7; 13]

angeben.

Eine andere Möglichkeit wäre, dass die Gleichung, die du angibst, vielleicht nicht korrekt ist und bei der richtigen Gleichung vielleicht eine ganzzahlige Lösung erratbar ist.

anonymous

00:11 Uhr, 05.12.2018

Danke für die Antwort. Dann muss ich wohl Cardano anwenden. Denn ich brauche die exakten Zahlen... Leider noch nie von der gehört.

x)

anonymous

00:24 Uhr, 05.12.2018

Vielleicht lieg ich auch falsch. Hier mal die Lösung vom Professor, vielleicht kann hier jemand mehr rauslesen, welche Schritte ich machen muss.

Forderungsgleichung

: M (r) =

-r^3+12∙r^2+60∙r

= 600

Beidseitige Subtraktion von

600 :

-r^3+12∙r^2+60∙r

- 600 = 0

Parameter

: a = - 1, b = + 12, c = + 60, d = - 600

Lösungen (poly-solv)

: r_{1} = 13.08019, r_{2} = - 7.33440, r_{3} = 6.25421

Der Output liegt für Inputmengen zwischen

6.25

Tonnen und

12

Tonnen über

600

Stück.

Roman-22

00:28 Uhr, 05.12.2018

Gibt es keine Einschränkungen für r?
Kann er auch nicht-ganzzahlig sein? Kann

r

auch negativ sein?
Bist du sicher, dass deine Gleichung/Ungleichung richtig ist?

Die Lösung wäre

{r \in ℝ | r < - 7,33440157 \lor 6,25421004 < r < 13,08019153},

wobei die angegebene Werte natürlich nur gerundete Werte sind.

Der "exakte" Wert für die erste positive Lösung ist zB

6 \cdot cos (\frac{1}{3} \cdot a r c t a n \frac{5 \sqrt{83}}{29}) - 6 \sqrt{3} sin (\frac{1}{3} \cdot a r c t a n \frac{5 \sqrt{83}}{29}) + 4 \approx 6,25421004

EDIT: Habe eben erst deine Ergänzung gesehen

>

Lösungen (poly-solv)
Na, das bedeutet ja wohl, dass irgend ein Technologie-Einsatz erfolgt ist. Da wurden die Lösungen eben mit der solve Funktion eines Taschenrechners oder eines CAS ermittelt.

anonymous

00:46 Uhr, 05.12.2018

Ich hab mal die Aufgabe und die Lösung hochgeladen. :-)

>

Lösungen (poly-solv)
Na, das bedeutet ja wohl, dass irgend ein Technologie-Einsatz erfolgt ist. Da wurden die Lösungen eben mit der solve Funktion eines Taschenrechners oder eines CAS ermittelt.

Ach so, dass bedeutet Taschenrechner? poly-solv
Hmm das kann ich gar nicht mit dem TI-30 ECO RS, da muss ich wohl noch einen anschaffen der das kann, was.

>

Da fällt mir grad noch eine Frage ein. Welcher ist der beste wissenschaftliche und nicht-programmierbare Taschenrechner? Der TI-30X Pro?

Roman-22

00:58 Uhr, 05.12.2018

>

Ach so, dass bedeutet Taschenrechner? poly-solv
Ja!

>

Hmm das kann ich gar nicht mit dem TI-30 ECO RS, da muss ich wohl noch einen anschaffen der das kann, was.
Mit TR bin ich nicht so bewandert, aber eine kurze Internetsuche nach "poly-solv" fördert schnell zutage, dass etwa das Modell TI-30X PRO diese Funktion besitzt
http//www.bioconsult.ch/Inovatech/TI30XPRO.pdf

Ich bin sicher, dass auch andere Modelle von TI über diese Funktion verfügen und auch Modelle von Casio, Sharp, etc. mit gleichwertigen Funktionen aufwarten können.

Auszug aus obiger Beschreibung:
"poly-solv: Exakte Lösung von quadratischen (ax² $+$ bx $+ c = 0)$ und kubischen
Gleichungen (ax³ $+$ bx² $+$ cx $+ d = 0)$ . Die Zahlen $a, b, c, d$ sind die entsprechenden
Datenspeicher. Es werden alle Lösungen angezeigt, auch komplexe (immer 2 Lösungen
bei der quadratischen, 3 bei der kubischen Gleichung). Nach dem Lösungsvorgang können die Lösungen als Werte der Variablen $x, y, z, t$ und die Gleichung als Funktion (siehe unten: Auswertung von Ausdrücken/Funktionen) abgespeichert werden."

anonymous

01:10 Uhr, 05.12.2018

Danke hab ich bereits bestellt, lol.

Ja gut. Dann hat sich das wohl erledigt mit meinem Problem, was. Das heisst, ich benötige mehr Taschenrechner-Anwesenheit, als dass ich Hirnaktivität brauche.

Roman-22

01:14 Uhr, 05.12.2018

Naja, wenn Cardano die Alternative ist, dann greift man gern zum TR

anonymous

10:54 Uhr, 05.12.2018

Jetzt habe ich trotzdem noch eine Frage. Wie kommt man von den

3 r' s

die man nun hat auf den Satz: Der Output liegt für Inputmengen zwischen

6.25

Tonnen und

12

Tonnen über

600

Stück. Weil es der einzige

R

ist der zwischen 0 und

12

liegt?

anonymous

11:03 Uhr, 05.12.2018

Dann wäre die Lösung folgendermassen?

600 = -r^3 + 12r^2 + 60r // -600
0 = -r^3 + 12r^2 + 60r -600

Taschenrecher:
r1 = 13.08019
r2 = -7.3344
r3 = 6.25421

0 kleiner/gleich r kleiner/gleich 12
Daher r3

Bei Input zwischen 6.25421 und 12 liegt der Output über 600.

Roman-22

11:13 Uhr, 05.12.2018

Vermutlich ein Tippfehler in der Lösung und es sollte "zwischen

6.25

Tonnen und

13

Tonnen " heißen.

anonymous

12:18 Uhr, 05.12.2018

Ists nicht 12 weil es von der Aufgabe selber begrenzt ist?

ledum aktiv_icon

12:25 Uhr, 05.12.2018

Ja, die

12

statt

13

kommt von dem gegebenen Beschränkungen auf

r \leq 12

Gruß ledum

Roman-22

12:32 Uhr, 05.12.2018

>

Ists nicht

12

weil es von der Aufgabe selber begrenzt ist?
Ja, stimmt. Die konkrete Aufgabenstellung die du dann später gepostet hattest hatte ich mir nicht angesehen.

anonymous

12:48 Uhr, 05.12.2018

Danke! :-)

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