Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kurvenschar - Nullstellenberechnung

Kurvenschar - Nullstellenberechnung

Schüler

Tags: Kurvendiskussion, Kurvenschar, Nullstell

lelo-123 aktiv_icon

18:32 Uhr, 15.04.2016

Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Hausaufgabe.
Sie lautet:
Gegeben sei die Funktionenschar fa mit: fa(x)

= \frac{1}{2}

ax^2 -2ax+3 , aER
Frage: Wann besitzt eine Funktion der Schar eine, zwei bzw. keine Nullstelle?
Mein Ansatz: fa(x)=0 dann würde ich die pq Formel anwenden, damit ich die Diskriminante unter der Wurzel habe, um beurteilen zu können wann es wie viele Nullstellen gibt.
1/2ax^2-2ax+3

= 0 | \cdot 2 a \to

damit

x^{2}

frei steht (für die pq-Formel)
x^2-2ax*2a+6a
????? Wie soll man denn jetzt die pq-Formel anwenden? Da ist noch ein

\cdot 2 a

hinter dem

p . .

.

Ich bitte um Hilfe
Danke schon im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

supporter aktiv_icon

18:43 Uhr, 15.04.2016

Mit 2 multiplizieren:

a x^{2} - 4 a x + 6 = 0

Diskriminante:

{(- 2 a)}^{2} - 6 = 4 a^{2} - 6

. .

lelo-123 aktiv_icon

19:23 Uhr, 15.04.2016

Danke für die Antwort.
Aber wo ist das

x

bei der Diskriminante hin?

supporter aktiv_icon

19:29 Uhr, 15.04.2016

x

taucht in der Diskr. nie auf.

Es geht noch um die Fallunterscheidung:

D > 0

D = 0

D < 0

Für welche a ist das jeweils der Fall?

Atlantik aktiv_icon

19:30 Uhr, 15.04.2016

Ich bekomme eine andere Lösung. Ich mag die

p, q

Formel nicht.

f_{a} (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + 3

\frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + 3 = 0 | \cdot 2

a x^{2} - 4 a x + 6 = 0 | : a

x^{2} - 4 x + \frac{6}{a} = 0 | - \frac{6}{a}

x^{2} - 4 x = - \frac{6}{a}

x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{6}{a} + 4

{(x - 2)}^{2} = - \frac{6}{a} + 4

x_{1} = 2 + \sqrt{- \frac{6}{a} + 4}

x_{2} = 2 - \sqrt{- \frac{6}{a} + 4}

. .

.

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

19:35 Uhr, 15.04.2016

.

Achtung:

die Diskriminante, die dir ein "supporter" oben verkauft, ist

\to f a l s c h!

und weil

a \neq 0

sein wird (warum denn?)
darf Atlantik durch a teilen ..
und bekommt dann die richtige Diskriminante

D = 4 - \frac{6}{a}

jetzt kannst du beruhigt selbst weitermachen , denn dieser Atlantik hat dann
auch nicht im gewünschten Sinn weiter überlegt

. .

.

ok?

lelo-123 aktiv_icon

21:27 Uhr, 15.04.2016

Vielen Dank für die Antworten!!
Habe es jetzt verstanden :-)

lelo-123 aktiv_icon

22:53 Uhr, 15.04.2016

Moment...ich hab nochmal eine kurze Frage:
Was wenn

a = 0

ist? Dann kann man nicht durch a teilen. Weil es steht ja nirgens, dass a nicht 0 soll kann.

Ma-Ma aktiv_icon

23:20 Uhr, 15.04.2016

Was ist mit

a = 0

f_{a} (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + 3

Nullstellen berechnen

f (x) = 0

0 = 3

Wahre Aussage?
Wenn

a = 0,

gibt es dann eine Nullstelle?

Du solltest jedoch schon vorher aus der Diskriminante ermittelt haben, dass es KEINE Nullstelle gibt, wenn

a < \frac{3}{2}

.

LG Ma-Ma

Atlantik aktiv_icon

05:05 Uhr, 16.04.2016

"jetzt kannst du beruhigt selbst weitermachen , denn dieser Atlantik hat dann
auch nicht im gewünschten Sinn weiter überlegt ..."

R u n d b l i c k,

was soll nun dieser Hieb wieder?

Schau dir mal die Uhrzeiten der Antworten an! Dann wirst du feststellen, dass deine Bemerkung haltlos ist. Denn ich habe auf die Antwort von supporter

18 : 43

Uhr geantwortet, wie du ja auch. Wenigstens hast du dir verkniffen,dich wieder über die quadratischen Er

G

H N

zungen lustig zu machen.
Diese Aufgabe hat mir mal wieder gezeigt, dass die

q . E

. doch ein sehr sicherer Weg sind.

Also lass jetzt endgültig deine Sticheleien...

Stephan4

10:35 Uhr, 16.04.2016

Ein Blick auf die Grafik mit Schieberegler für a
http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html?fx=a*x^2/2-2*a*x+3&xh=20&xl=-20&yh=20&yl=-20&al=-4&a=0

zeigt, dass es für manche a zwei Nullstellen, für manche a keine und für ein bestimmtes a eine Nullstelle gibt.

Die Funktion lautet:

f_{a} (x) = \frac{a}{2} x^{2} - 2 a \cdot x + 3

Für

a = 0

schrumpft die Funktion auf:

f_{a = 0} (x) = 3 \to

keine NS

Für

a \neq 0

Nullstellen finden:

0 = \frac{a}{2} x^{2} - 2 a \cdot x + 3 \to x_{1,2} = \frac{2 a \pm \sqrt{4 a^{2} - 6 a}}{a}

Eine NS gibt es, wenn die Wurzel weg fällt, also

a = 1,5

.
Zwei NSn gibt es, wenn

4 a^{2} - 6 a > 0

oder

4 a^{2} > 6 a

.

Anmerkung: Wenn durch eine negative Zahl dividiert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
Beispiel:

- 10 < - 2 \Rightarrow 5 > 1

Daher muss man hier für

4 a^{2} > 6 a | : 4 a

zwei Fälle unterscheiden: Ob man durch eine pos. oder neg. Zahl dividiert.

Fall 1: Falls

4 a < 0,

gilt nach Division:

a < 1,5

Es gibt zwei Nullstellen, wenn

a < 1,5,

falls

a < 0

. Klingt zwar komisch, trifft aber für alle

a < 0

zu.

Fall 2: Falls

4 a > 0,

gilt nach Division:

a > 1,5

Es gibt zwei Nullstellen, wenn

a > 1,5,

falls

a > 0

. Das trifft für alle

a > 1,5

zu.

Ergebnis:
Für alle negativen a und für alle

a > 1,5

gibt es zwei Nullstellen.
Es gibt eine Nullstelle, wenn

a = 1,5

.

Was auch die Grafik oben anschaulich zeigt.

:-)

rundblick aktiv_icon

17:04 Uhr, 16.04.2016

.
"Schau dir mal die Uhrzeiten der Antworten an!"

@Atlantik:

unabhängig von allen Uhrzeiten habe ich einfach nur festgestellet, dass du
offenbar nichtmal erfasst hast, dass die Fragestellung eine andere war ais
das, was du mit deiner Fleissarbeits-Antwort ergähnst hast..

. .

. ich lese dir gerne die zu beantwortende Frage nochmal laut vor:

"Frage: Wann besitzt eine Funktion der Schar eine, zwei bzw. keine Nullstelle?"

.. jetzt endlich kapiert,dass meine Bemerkung :
"Atlantik hat dann auch nicht im gewünschten Sinn weiter überlegt"
.. sachlich, friedlich und gar NICHT "haltlos" war?

.

Atlantik aktiv_icon

17:58 Uhr, 16.04.2016

Gut, die Frage war, wann eine Funktion der Schar eine, zwei bzw keine Nullstelle hat.
Da war es mir eben wichtig, einen Weg zu zeigen, wie man auf die richtige Determinante überhaupt kommt. Weitere Überlegungen waren da von mir gar nicht vorgesehen.

Na ja, lelo

123

hat jetzt durch Stephan 4 eine umfassende Lösung ihres Anliegens bekommen.

mfG

Atlantik

lelo-123 aktiv_icon

21:01 Uhr, 16.04.2016

Vielen Dank für eure Mühe!
Hab es schlussendlich verstanden!

1301510

1301324

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?