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Log ? was macht der Taschenrechner da? Herleitung

Schüler Berufskolleg,

Tags: Herleitung, Logarithmus

Phanox aktiv_icon

17:03 Uhr, 10.11.2016

Wie im Titel schon steht Frage ich mich was Der Taschenrechner macht wenn man log eingibt.
konkretes Beispiel wäre:

2^{x} = 8

Jedem ist klar hoch 3 ist die Lösung und der Taschenrechner bekommt das natürlich auch raus nur wie? also was macht er genau um auf die 3 zu kommen gibt es da eine Formel oder eine Herleitung oder geht er einfach alle hochzahlen aus bis er die findet wo es passt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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17:16 Uhr, 10.11.2016

Der TR logarithmiert mit

{log}_{10} = l g

oder

{log}_{e} = ln

x \cdot ln 2 = ln 8

x = \frac{ln 8}{ln 2} = 3

Roman-22

17:39 Uhr, 10.11.2016

Ich interpretiere deine Frage so, dass du gern wissen möchtest, wie dein TR auf den konkreten Zahlenwert kommt, wenn du lg(20) eintippst und er dich in Windeseile das ungefähre Ergebnis

1,301029995664

wissen lässt.

Zunächst reicht es, wenn dein TR den Logarithmus zu einer bestimmen Basis, zum Beispiel zu Basis

e (\to

natürlicher Logarithmus) berechnen kann, dann darauf können wir jeden beliebigen Logarithmus zurück führen

\to {log}_{a} (x) = \frac{ln (x)}{ln (a)}

.
Und wie dein TR jetzt

ln (x)

berechnet, kann dir wohl kaum hier jemand sagen, denn die verwendeten Algorithmen sind idR nicht veröffentlicht.

Allgmein kannst du dich mal schlau machen, was sogenannte Potenzreihen

(\to

Taylor-Reihen) anlangt. Damit kann man, schlampig gesprochen, jede Funktion als eine (unendliche) Summe von Potenzen des Funktionsargument darstellen. Potenzen sind für einen Rechner leicht berechenbar und wenn man dann irgendwann aufhört zu summieren (für die unendlich vielen Summanden benötigte man leider auch unendlich viel Zeit), hat man idR eine gute Näherung.
Vielleicht interessiert in diesem Zusammenhang das hier:
www.mathematik.ch/anwendungenmath/logarithmen
Du siehst dort

u . a

. wie man Logarithmen auch durch sukzessives Quadratwurzelziehen berechnen kann.

Immer interessant auch die Beiträge von Herrn Kühn
http//rechnerlexikon.de/files/RechwieDam/20121022RwD-LogarithmenKK.pdf
books.google.at/books?id=VYYLAQAAQBAJ&pg=PA7&lpg=PA7

Speziell für die Berechnung mit digitalen Schaltkreisen sind auch andere Algorithmen entwickelt worden, stellvertretend für diese hier der BKM-Algorithmus:
de.wikipedia.org/wiki/BKM-Algorithmus

Möglicherweise verwenden manche TR auch eine Kombination von Lookup-Tabellen und Rechenalgorithmen.
Ich vermute, dass eine Anfrage bei TI, HP, Casio und Co. wegen der verwendeten Algorithmen kaum befriedigend beantwortet werden würde. Aber wenns dir einen Versuch Wert ist - nur zu und berichte dann hier, wie es ausgegangen ist.

Phanox aktiv_icon

18:26 Uhr, 10.11.2016

Erstmal vielen Dank für die ausfürliche Antwort, die meine Frage auch beantwortet hat.
Nun hat sich allerdings eine andere Frage ergeben und zwar:
wenn ich