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Logistisches Wachstum - Lösung der DGL

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, DGL, logistisches Wachstum, Lösung

anapple aktiv_icon

17:49 Uhr, 22.01.2012

Ich muss ein Referat über das logistische Wachstum halten. Ich hänge jedoch bei dem Beweis der Differentialgleichung fest.

www.risc.jku.at/people/wwindste/Teaching/LogikAlsArbeitssprache/SS04/Papers/0355808+0355807.pdf

Auf Seite 7 ist der Beweis aufgeführt. Jedoch ist er nicht erklärt und ich kann nichts damit anfangen weil ich nicht verstehe was da gemacht wurde.

Beweis: f'(t)= (-G*b*(-G*k)*e^(-G*k*t))/(1+b*e^-G+k+*t)² =k*f(t)*(g-f(t))

Ich verstehe jetzt nicht wie man auf dieses Ergebnis kommt und welche Rechenverfahren hier angewandt wurden.

Es wäre sehr freundlich wenn mir das jemand erklären könnte.

Vielen Dank im Voraus.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Yokozuna aktiv_icon

09:34 Uhr, 23.01.2012

Hallo,

Du hast die Differentialgleichung für das logistische Wachstum gegeben. Die Lösung dafür brauchst Du nicht selbst zu berechnen, sie wird hier vorgegeben,

d . h .,

es wird behauptet, daß

f (t) = \frac{G}{1 + b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}}

die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

f' (t) = k \cdot f (t) \cdot (G - f (t))

ist. Um zu beweisen, daß das vorgegeben

f (t)

wirklich eine Lösung der Differentialgleichung ist, fängt man mit der linken Seite der Differentialgleichung

f' (t)

an. Man leitet also das vorgegebene

f (t)

mit der Quotientenregel ab

(k, G

und

b

sind Konstanten) und formt den dabei entstehenden Ausdruck so lange um, bis die rechte Seite der Differentialgleichung

k \cdot f (t) \cdot (G - f (t))

herauskommt. Damit hat man gezeigt, daß

f (t)

die Differentialgleichung erfüllt, also eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Falls Du Verständnisprobleme bei den einzelnen Umformungsschritten hast, dann mußt Du sagen, bei welchem Umformungsschritt es klemmt.

Viele Grüße
Yokozuna

anapple aktiv_icon

16:52 Uhr, 23.01.2012

Vielen Dank für das Beantworten mein Frage :) Deine Antwort hat mir sehr geholfen aber leider hab ich gleich die nächste...

Wie kann ich denn die Stammfunktion dieser Funktion herausfinden?

f(x)=10/(1+4*e^(-0,25*x))

bzw überhaupt einer Funktion des logistischen Wachstums?

als ich denke man muss auf f(x)10*(1+4*e^(-0,25*x))^(-1) umformen aber wenn ich dann ableite bleibt ja immer noch das c offen oder etwa nicht?

Yokozuna aktiv_icon

19:37 Uhr, 23.01.2012

Die Funktion

f (x) = \frac{10}{1 + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}

ist doch offensichtlich schon die Lösung einer Differentialgleichung für das logistische Wachstam. Wieso willst Du dann von

f (x)

nochmal die Stammfunktion bilden?

Viele Grüße
Yokozuna

anapple aktiv_icon

21:34 Uhr, 23.01.2012

Ich habe gedacht bei einer Aufgabe das Integral zu benötigen. Aber scheinbar brauche ich das gar nicht.

Ist die Stammfunktion der Lösung der Differentialgleichung überhaupt möglich für einen einfachen Gymnasiasten oder übersteigt das den Erwartungshorizont? Ich habe eine Aufgabe im Internet gesehen wo das sehr kompliziert aussieht...

Yokozuna aktiv_icon

22:34 Uhr, 23.01.2012

Da meine Schulzeit schon sehr lange zurückliegt, weiß ich nicht, ob das für heutige Gymnasiasten eine lösbare Aufgabe ist (zu meiner Zeit wäre sie jedenfalls nicht lösbar gewesen).
Ich zeige Dir mal kurz, wie man die Stammfunktion berechnet und dann kannst Du selbst entscheiden, ob das mit eurem Schulwissen lösbar wäre. Ich verwende zur Berechnung eine Substitution und eine Partialbruchzerlegung. Die zu integrierende Funktion ist

f (t) = \frac{G}{1 + b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}}

wobei

b

die Integrationskonstante ist, die bei der Lösung der Differntialgleichung entstand.
Die Substitution ist

u = b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t} \Rightarrow

= - G \cdot k \cdot b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t} \cdot d t \Rightarrow d t = - \frac{1}{G \cdot k \cdot b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}} \cdot

= - \frac{1}{G \cdot k \cdot u} \cdot

\Rightarrow

\int \frac{G}{1 + b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}} \cdot d t = \int \frac{G}{1 + u} \cdot (- \frac{1}{G \cdot k \cdot u}) \cdot

= - \frac{1}{k} \cdot \int \frac{1}{u \cdot (1 + u)} \cdot

du =

- \frac{1}{k} \cdot \int \frac{1 + u - u}{u \cdot (1 + u)} \cdot

= - \frac{1}{k} \cdot \int (\frac{1 + u}{u \cdot (1 + u)} - \frac{u}{u \cdot (1 + u)}) \cdot

du =

- \frac{1}{k} \cdot \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}) \cdot

= - \frac{1}{k} \cdot (\int \frac{1}{u} \cdot

- \int \frac{1}{1 + u} \cdot

) =

- \frac{1}{k} \cdot (ln (u) - ln (1 + u) + ln (C)) = - \frac{1}{k} \cdot ln (C \cdot \frac{u}{1 + u}) = - \frac{1}{k} \cdot ln (C \cdot \frac{b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}}{1 + b \cdot e^{- G \cdot k \cdot t}}) =

- \frac{1}{k} \cdot ln (C \cdot b \cdot \frac{1}{e^{G \cdot k \cdot t} + b})

Das

C

ist die Integrationskonstante. Schau mal, ob Du was damit anfangen kannst.

Viele Grüße
Yokozuna

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