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Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkt

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Extrema, Funktion, Mehrdimensional, Sattelpunkt

Fobi25 aktiv_icon

11:13 Uhr, 05.07.2018

Hallo zusammen,

kann mir jemand sagen, ob ich die folgende Aufgabe soweit richtig durchgerechnet habe? Man soll die Funktion auf relative Extrema und Sattelpunkte prüfen.

f (x, y) = 2 x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} - 6 x^{2} - 6 x y + 4

Ableitungen:

f x (x, y) = 6 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x - 6 y

f y (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 6 x

Dann habe ich

f x (x, y) = f y (x, y)

6 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x - 6 y = 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 6 x | - 3 x^{2} | - 6 x y | - 3 y^{2} | + 6 x

\Rightarrow 3 - 6 y = 0 | - 3 | : (- 6)

\Rightarrow y = \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2} \to f y (x, y)

3 x^{2} - 3 x + \frac{3}{4} | : 3

x^{2} - x + \frac{1}{4} |

PQ-Formel mit

P = - 1

und

Q = \frac{1}{4}

x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}}

Dann erhalte ich sowohl für "+" als auch für "-"

x = \frac{1}{2}

Hier kommt dann die erste Frage: Ist das möglich oder habe ich mich irgendwo vertan? Hatte sowas bis jetzt noch nie, dass exakt das gleiche Ergebnis rauskommt.

Danach habe ich dann die Hessematrix aufgestellt mit

f x x (x, y), f x y (x, y), f y x (x, y)

und

f y y (x, y)

. Die Punkte

x = \frac{1}{2}

und

y = \frac{1}{2}

eingesetzt und die

det

. berechnet und komme auf

- 18 < 0 \Rightarrow

es ist ein Sattelpunkt.

Vielen Dank wenn mir da jemand helfen kann.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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11:50 Uhr, 05.07.2018

Hallo,

6 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x - 6 y = 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 6 x ∣ - 3 x^{2} ∣ - 6 x y ∣ - 3 y^{2} ∣ + 6 x

ergibt doch

3 x^{2} - 6 x - 6 y = 0

Was ist jetzt die Lösung?

Gruß

pivot

Fobi25 aktiv_icon

11:59 Uhr, 05.07.2018

Ich habe schon einen Fehler gefunden bei

f x (x, y) = f y (x, y) - 12 x + 6 x

habe ich

= 0

aber ist natürlich

\neq 0

Neuer Versuch:

2 \cdot f y (x, y) = f x (x, y)

2 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} - 4 x = 2 x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x - 2 y | - 2 x^{2} - | 2 x y | - y^{2} | + 4 y | + 2 y

\Rightarrow 2 x y + y^{2} + 2 y = 0

y \cdot (2 x + y + 2)

\Rightarrow y 1 = 0

und

y = - 2 x - 2

y 1 = 0 \to f y (x, y)

\Rightarrow x^{2} - 2 x = 0

x \cdot (x - 2) = 0

\Rightarrow x 1 = 0

und

x 2 = 2

Somit hätte ich die krit. Punkte

(0 | 0) \lor (2 | 0)

Mit

y = - 2 x - 2

kann man dann (soweit ich weiß) noch überprüfen ob es weitere Punkte gibt.

Fobi25 aktiv_icon

12:08 Uhr, 05.07.2018

@pivot Danke für die Antwort die hatte ich aber leider nicht mehr rechtzeitig gesehen.

Würde man denn mit

3 x^{2} - 6 x - 6 y = 0

weiterkommen? Wenn ja, wüsste ich da nicht genau wie.

Vielleicht:

x^{2} - 2 x - 2 y = 0 | + 2 y

x \cdot (x - 2) = 2 y

\Rightarrow x 1 = 2 y \lor x 2 = 2

?? Bin ich mir aber nicht sicher.

pivot aktiv_icon

12:48 Uhr, 05.07.2018

Die kritischen Punkte müssen auf jeden Fall die Gleichung

6 y = 3 x^{2} - 6 x

erfüllen.

Zwei Lösungen sind in der Tat

(0 / 0)

und

(2 / 0)

. Aber das sind nur zwei Lösungen von unendlich vielen der Gleichung. Man muss jetzt noch die Gleichung nach y auflösen.

y = 0, 5 \cdot x^{2} - x

Den Term für

y

f_{x} (x, y) = 0

oder

f_{y} (x, y) = 0

einsetzen und nach

x

auflösen.

Keine ganz einfache Rechnung. Ich habe bei Wolfram alpha mal mit

f_{y} (x, y) = 0

berechnen lassen. Es müsste aber auch händisch zu bewerkstelligen sein.

http//www.wolframalpha.com/input/
i=3x%5E2%2B6xy%2B3y%5E2%E2%88%926x%3D0,+y%3D0.5%5Ccdot+x%5E2-x

Fobi25 aktiv_icon

13:15 Uhr, 05.07.2018

Also die Aufgabe muss tatsächlich komplett händisch zu schaffen sein, da es eine alte Klausuraufgabe ist.

Ist es möglich, wenn man

\frac{1}{2} \cdot x^{2} - x

mit

- 2 x - 2

gleichsetzt? Für weitere krit. Punkte, bzw. nach

x

umstellen.

Die Wolfram Seite lässt sich leider nicht öffnen.

pivot aktiv_icon

13:38 Uhr, 05.07.2018

Ist es möglich, wenn man

12 \cdot x^{2} - x

mit

- 2 x - 2

gleichsetzt? Für weitere krit. Punkte

Was heißt hier für weiter kritisch Punkte? Bis jetzt hast du noch gar keinen. Die beiden Punkte die du bist jetzt hast sind mögliche Kandidaten für kritische Punkte. Um die kritischen Punkte zu berechnen musst du, wie schon erwähnt,

y = 0, 5 x^{2} - x

in ein der beiden Bedingungen 1. Ordnung einsetzen.

Wie kommst du darauf, dass man

½ \cdot x^{2} - x

mit

- 2 x - 2

gleichsetzt kann/muss?

Die Wolfram Seite lässt sich leider nicht öffnen

Keine Ahnung warum das nicht funktioniert hat. Ich habe jetzt den gleichen Link etwas anders reingeschrieben.

http://www.wolframalpha.com/input/i=3x%5E2%2B6xy%2B3y%5E2%E2%88%926x%3D0,+y%3D0.5%5Ccdot+x%5E2-x

Der Link muss kopiert werden. Den ganzen Link markieren. Rechte Maustaste drücken. 'kopieren' auswählen. Mit dem Cursor in die Adresszeile gehen. Rechte Maustaste. 'einfügen' auswählen. 'Enter' drücken.

Fobi25 aktiv_icon

15:28 Uhr, 05.07.2018

Also wie man einen Link kopiert und öffnet weiß ich aber die Seite wird nicht gefunden oder kann nicht geöffnet werden.

Auf die Idee ist ein anderer Kommilitone gekommen aber erklären konnte er es nicht. Ich denke mal er hat es auch von jemand anderes.

Wenn ich

y = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - x \to f y (x, y)

einsetze, komme ich auf:

x^{2} + 2 x \cdot (\frac{1}{2} x^{2} - x) + {(\frac{1}{2} x^{2} - x)}^{2} - 2 x = 0

\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = 0

x \cdot (\frac{1}{4} x^{3} + x^{2} - 2 x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0

\frac{1}{4} x^{3} + x^{2} - 2 x - 2 = 0 | + 2

x \cdot (\frac{1}{4} x^{2} + x - 2) = 2 \Rightarrow x = 2

\frac{1}{4} x^{2} + x - 2 | : \frac{1}{4} |

PQ-Formel mit

P = 4

und

Q = - 8

\Rightarrow x = - 2 \pm 2 \cdot \sqrt{3}

Dann habe ich wieder die x-Werte 0 und 2 wie eben

+

zwei neue Werte. Wüsste ich die jetzt wieder in eine Ableitung einsetzen für die y-Werte?

korbinian aktiv_icon

10:28 Uhr, 06.07.2018

hallo,
es muss doch grad(f)=(0,0) sein.
Warum setzt du die partiellen Ableitungen nicht null? Dann hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten zu lösen.
Durch das Gleichsetzen verschenkst du Information. Ich denke alle Schwierigkeiten hier sind darauf zurück zu führen.
gruß
korbinian

Roman-22

12:32 Uhr, 06.07.2018

@korbinian

>

Warum setzt du die partiellen Ableitungen nicht null?
Genau das steckt doch hinter all den bisherigen Überlegungen!

>

Durch das Gleichsetzen verschenkst du Information.
Nein. Das Gleichsetzen ist doch nur eine Möglichkeit, das nichtlineare Gleichungssystem zu lösen.
Du kannst es auch so sehen, dass die Differenz von

f_{x}

und

f_{y}

gebildet und nullgesetzt wird. Danach wird das Ergebnis ohnedies wieder in eine der Gleichungen

f_{x} = 0

oder

f_{y} = 0

eingesetzt und somit gehen keine Informationen verloren.

@Fobi25
Du hast dich wieder verrechnet!
Du scheinst beim Quadrieren des Binoms einfach zwei Summanden unterschlagen zu haben.

Das Gleichsetzen der beiden partiellen Ableitungen hat dich richtigerweise auf

y = \frac{x^{2}}{2} - x

geführt, also eine notwendige Bedingung für kritische Stellen.
Die Idee, das in

f_{y} = 0

einzusetzen oder, wie du es ja gemacht hast, in

\frac{1}{3} f_{y} = 0,

ist eine gute und wenn du das richtig machst, führt es auf die einfache Gleichung

\frac{1}{4} x^{4} - 2 x = \frac{1}{4} x (x^{3} - 8) = 0

deren reelle Lösungen

x_{1} = 0

und

x_{2} = 2

man mit freiem Auge sieht.
Eingesetzt in die Bedingung

y = \frac{x^{2}}{2} - x

liefert das sofort

y_{1} = y_{2} = 0

und somit sind die beiden reellwertigen kritischen Stellen

(0; 0)

und

(2; 0)

.
Die zugehörigen beiden kritischen Punkte sind

(0 / 0 / 4)

und

(2 / 0 / - 4)

.
Der erste wird sich als Sattelpunkt entpuppen, der zweite als lokaler Tiefpunkt.

P . S . :

pivots Link zur Onkel Wolfram Seite funkt nicht, weil da immer ein Fragezeichen fehlte

\to

".../input/?i..."
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E2%2B6xy%2B3y%5E2%E2%88%926x%3D0,+y%3D0.5%5Ccdot+x%5E2-x

korbinian aktiv_icon

17:29 Uhr, 06.07.2018

Hallo,
natürlich kommt man so auch zum Ziel. Wenn ich aber die Länge der Diskussion hier sehe, scheint das Verfahren nicht sehr effekiv zu sein. Es wurde sogar wolfram bemüht. Andrereseits besteht der Anspruch die Sache "händisch" in einer Klausur zu lösen, in endlicher Zeit, wie ich vermute.
Geht man den von mir vorgeschlagenen Weg (und kann die binomische Formel) steht das Ergebniss in einigen Zeilen da.
gruß
korbinian

Roman-22

18:19 Uhr, 06.07.2018

>

Geht man den von mir vorgeschlagenen Weg
Genau deswegen mein Einwand.
Dein Vorschlag bestand doch bloß darin, den Gradienten Null zu setzen und das entstehende Gleichungssystem zu lösen. Und genau das wurde hier von Anfang an versucht, wenngleich nicht mit dieser Formulierung.
Du hattest doch keinen Vorschlag gemacht, wie das System deiner Meinung nach effizienter und schneller zu lösen sei, oder?
Auch das Gleichsetzen der beiden partiellen Ableitungen mit nachfolgendem Einsetzen ist eine legitime Methode, das System zu lösen und führt auch in ganz wenigen Zeilen mit geringstem Aufwand zum Ziel.
Aber eben nur, wenn man gründlich arbeitet und sich nicht verrechnet. Genau an der binomischen Formel scheint es ja zuletzt gescheitert zu sein.
Onkel Wolfram hier zu bemühen ist allerdings tatsächlich ein eher unverständlicher Overkill.

korbinian aktiv_icon

18:41 Uhr, 06.07.2018

Hallo,
habe mich wohl schlecht ausgedrückt. Ich wollte sagen, dass man die Aufgabe ganz bieder, wie in der Schule gelernt angehen sollte. Fobi25 hat sich wohl von den vielen Potenzen beeindrucken lassen und gedacht, man müsse hier sehr kreativ vorgehen. Dem wollte ich entgegen treten:
I :

6 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x - 6 y = 0

II:

3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 6 x = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2 x \overset{}{\Leftrightarrow} (x + y)^{2} = 2 x

II von I subtrahieren:

3 x^{2} - 6 x - 6 y = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} - 2 x - 2 y = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x + y = \frac{1}{2} x^{2}

In II einsetzen:

\frac{1}{4} x^{4} = 2 x \overset{}{\Leftrightarrow} x^{4} - 8 x = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x (x^{3} - 8) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x = 0 \lor x = 2

gruß
korbinian

Roman-22

23:52 Uhr, 06.07.2018

Deine Vorgangsweise unterscheidet sich kaum von der hier in Angriff genommenen.
Dein "II von I subtrahieren:" entspricht ja genau dem Gleichsetzen der beiden partiellen Ableitungen (auch wenn mir deine Diktion besser, weil klassischer, gefällt).
Du kommst iW auf den gleichen Ausdruck und setzt ihn ebenfalls in II (Fobi25 schrieb halt

f_{y})

ein.
Der Unterschied liegt aber in deiner recht eleganten (oder sollte ich sagen, kreativen ;-) Umformung von II und dass du damit nicht einfach

y

dort einsetzen kannst sondern gleich

x + y

und dir damit ein wenig Arbeit ersparst.

Wie auch immer - das Interesse am Thread scheint ohnedies abgeebbt zu sein.

Fobi25 aktiv_icon

12:29 Uhr, 07.07.2018

Vielen Dank für die Antworten. Konnte gestern leider nicht mehr schauen und antworten.
Ein Binom zu übersehen geschieht mir leider zu oft...

Aber trotzdem vieln Dank für die Hilfe.

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