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Minimaler Abstand zweier Fahrzeuge, Kreuzung

Universität / Fachhochschule

Tags: Abstand, Geschwindigkeit, Kreuzung, Physik, Skizze?, Strecke, Winkel

Thearchitect aktiv_icon

17:38 Uhr, 16.02.2016

Hallo, ich habe hier eine für mich unmögliche Matheaufgabe, die ich einfach nicht lösen kann. Ich weiß nicht einmal wo ich da anfangen soll.

Aufgabe:

Zwei Straßen scheiden sich im Winkel von 60°. Auf diesen fahren zwei Autos mit den konstanten Geschwindigkeiten

v 1 =

54km/h und

v 2 =

65km/h mit Richtung auf die Kreuzung. Zum Zeitpunkt

t 0 = 0 s

sind sie von der Kreuzung noch

s 1 = 75 m

und

s 2 = 80 m

entfernt.
Fertigen Sie eine Skizze an. Wann ist der Abstand der Fahrzeuge minimal und wo befinden sich diese?
Hinweis: Geben Sie den vollständigen Lösungsweg mit allen Gleichungen an. Die Angabe von Zahlenwerten ist nicht hinreichend.

Das einzige was ich bisher gemacht habe, ist die Skizze und die Umrechnung von km/h in

\frac{m}{s}

. Ich bitte um Hilfe!!! :-D)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

17:42 Uhr, 16.02.2016

. .

. wenn du schon eine Skizza hast, dann kannst du mit dem Kosinussatz, weil du ja den Winkel und 2 anliegende Seiten (Strecken der fahrzeuge bis zum Kreuzungspunkt) hast, die Entfernung der beiden Fahrzeuge zueinander bestimmen.

Du hast dann sowas wie:

c {(t)}^{2} = a {(t)}^{2} + b {(t)}^{2} - 2 \cdot ...

.

Nun kannst du das Abstandsquadrat minimieren.

;-)

Thearchitect aktiv_icon

17:57 Uhr, 16.02.2016

Danke, das hilft mir schonmal ein wenig weiter. Aber was meinst du mit

c (t)

? Also was bedeutet das

t

in der Klammer? Weil Zeit weiß ich ja noch nicht, hab ja nur

t = 0

als Startwert.

Edddi aktiv_icon

18:46 Uhr, 16.02.2016

. .

t

ist die Zeit! Für den Abstand der Fahrzeuge bis zur Kreuzung (also die Seiten

a (t)

und

b (t))

gilt doch

a (t) = s_{1} (t) = s_{1} - v_{1} \cdot t

b (t) = s_{2} (t) = . .

c (t)

ist dann der Abstand beider Fahrzeuge zum Zeitpunkt

t

;-)

Edddi aktiv_icon

19:01 Uhr, 16.02.2016

. .

. und vielleicht stellst du ja mal deine Skizze ein - dann könnte man sich mit den Antworten drauf beziehen.

;-)

Thearchitect aktiv_icon

19:53 Uhr, 16.02.2016

Schonmal danke soweit, jedoch hab ich gerade leider nicht die Möglichkeit meine Skizze hochzuladen. Ich versuche es mal so zu rechnen, wie du es mir gesagt hast, ich berichte später :-)

Thearchitect aktiv_icon

13:22 Uhr, 17.02.2016

So, ich hab jetzt für

c (o)

raus

77,6 m .

. Das ist also der Anfangsabstand. Um den minimalen Wert rauszubekommen, muss ich wahrscheinlich

c' (t) = 0

setzen, oder? Aber ich verstehe noch nicht so richtig, wie ich das zum Quadrat aus dem Kosinussatz entfernen kann. Also da steht dann ja :

c {(t)}^{2} = a {(t)}^{2} + b {(t)}^{2} - 2 \cdot a (t) \cdot b (t) \cdot cos (60)

Mein Problem ist ein sehr elementares, und zwar möchte ich die

^2

wegbekommen, doch dafür muss ich ja eine Wurzel über den kompletten rechten Teil legen, oder? Aber wenn da eine Wurzel steht, weiß ich nicht wie ich das ganze ableiten soll

: (

Edddi aktiv_icon

13:28 Uhr, 17.02.2016

. .

. die Wurzel ist doch kein Problem, da sie beim Nullesetzen der Ableitung veschwindet:

c (t) = \sqrt{b l a ... b l a}

c' (t) = \frac{(b l a ... b l a)'}{2 \cdot \sqrt{b l a ... b l a}} = 0

(b l a ... b l a)' = 0

Aber man kann auch direkt das Abstandsquadrat ableiten! Denn dort, wo der Abstand

c (t)

minimal ist ist auch

c^{2} (t)

minimal.

Also direkt:

c^{2} (t) = (b l a ... b l a)

(c^{2} (t))' = (b l a ... b l a)' = 0

Wie du siehst, kommt das Gleiche raus.

;-)

Edddi aktiv_icon

13:46 Uhr, 17.02.2016

Als Ergebnis erhälst du erstmal den Zeitpunkt

t

zu dem der Abstand minimal ist.

Was bekommst du denn da raus?

c (t)

ist der Abstand zum Zeitpunkt

t :

Es gilt (Kosinussatz):

c^{2} (t) = a^{2} (t) + b^{2} (t) - 2 \cdot a (t) \cdot b (t) \cdot {cos}_{D E G} (60)

mit

a (t) = s_{1} - v_{1} \cdot t

und

b (t) = s_{2} - v_{2} \cdot t

und

{cos}_{D E G} (60) = \frac{1}{2}

c^{2} (t) = {(s_{1} - v_{1} \cdot t)}^{2} + {(s_{2} - v_{2} \cdot t)}^{2} - (s_{1} - v_{1} \cdot t) \cdot (s_{2} - v_{2} \cdot t)

.
.

(c^{2} (t))' = ... . = 0

t = ...

.

Dieses

t

kannst du dann in

c (t)

einsetzen, um den minimalen Abstand zu berechnen.

;-)

Thearchitect aktiv_icon

14:28 Uhr, 17.02.2016

So, ich habe

(c^{2} (t))' = 560,52 t - 2585,6

rausbekommen, umgestellt nach

t

ergibt das

t = 4,61

. Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher ob dieses Ergebnis richtig sein kann, da es bei

b (t)

eingesetzt ergibt

- 3,26 m,

was bedeutet, dass die Kreuzung schon überschritten wurde.... ich wüsste gerne wo mein Fehler liegt. Die Ableitung hab ich ganz normal gebildet und denke dass sie auch richtig sein müsste.

Edddi aktiv_icon

14:30 Uhr, 17.02.2016

. .

. das Ergebnis sieht gut aus - und ja, das 2. Auto ist schon über die Kreuzung gefahren. Sehr vorteilhaft, so kommt es nicht zum Zusammenstoß!

;-)

Thearchitect aktiv_icon

14:45 Uhr, 17.02.2016

Also sagst du, dass der Wert richtig ist? Sehr gut :-) Nun muss ich den Wert einfach in die Ausgangsgleichung, also den Kosinussatz einsetzen und von dem Ergebnis die Wurzel ziehen, oder? Dann erhalte ich einen Minimalabstand von

7,99 m

stimmt das so?

vielen Dank für die Hilfe!:-)

Edddi aktiv_icon

15:10 Uhr, 17.02.2016

. .

. sieht gut aus! Mein Ergebnis weicht um

\frac{2}{100}

ab, kann aber an meinen Rundungen liegen.

;-)

Ma-Ma aktiv_icon

18:23 Uhr, 17.02.2016

Hmm .. ich hatte

t = 1,28

raus.
Hab ich mich (des nachts) verechnet ? Hat noch jemand das raus?

Minimaler Abstand bei mir auch

7,99 m

also rund

8 m

.
Wäre jemand so lieb, das mal kurz nachzuprüfen

. .

.
LG Ma-Ma

Edddi aktiv_icon

18:52 Uhr, 17.02.2016

Hallo Ma-Ma,

das erstaunt mich aber, dass du mit dieser Zeit auf das richtige Ergebnis kommst.

Beide Fahrzeuge fahren mit ca.

15 \frac{m}{s}

auf die Kreuzung zu und sind ca.

75 m

von der Kreuzung entfernt. Nach deiner Zeit sind dann beide Fahrzeuge immer noch ca.

50 m

von der Kreuzung weg. Wie können sie denn da schon ca.

8 m

voneinander entfernt sein bei 60° ?

:-)

Ma-Ma aktiv_icon

19:07 Uhr, 17.02.2016

Jetzt sehe ich meinen Fehler

...

. hab km/h lustig mit

m

gemischt

...

.
Werd nochmal neu aufsetzen

. .

. ist 'ne schöne Aufgabe.
LG Ma-Ma

Edddi aktiv_icon

19:12 Uhr, 17.02.2016

. .

. nun ja, wenn man dann im Verlauf der Rechnung nochmal lustig zurückmischt kommt man dann wohl sogar auf die richtige Lösung.

Nicht immer ist der Weg das Ziel...

Huhhhh, welch Weisheit.

Schönen Abend.

:-)

Roman-22

19:46 Uhr, 17.02.2016

Meiner Meinung nach ist die Aufgabe nicht eindeutig formuliert, was die Startpositionen der beiden Fahrzeuge anlangt.
Die Ergebnisse sind natürlich unterschiedlich, auch wenn sich in beiden Fällen das erste Auto noch vor und das zweite Auto sich bereits hinter der Kreuzung befindet, wenn sich der minimale Abstand einstellt.

Siehe beigefügte Grafik.

R

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