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Monotonie mit Ableitung

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

Eleonora71 aktiv_icon

17:35 Uhr, 15.03.2015

Hallo!

Untersuchen Sie die Funktion

f

mithilfe der ersten Ableitung auf Monotonie!

Allgemein gilt:
Die Funktion

f

ist streng monoton steigend, wenn f′(x)>0 gilt.

Die Funktion

f

ist streng monoton fallend, wenn f′(x)<0 gilt.

a) f (x) = 3 x + 2

b) f (x) = - x^{2} + 3

c) f (x) = 4 x + x^{2}

d) f (x) = - 9

e) f (x) = x^{4} - 2 x^{2}

f) f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 9 x + 1

So. Also

Erste Ableitung berechnen
Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
Intervalle benennen
Ergebnis ermitteln

Muss man zwingend die zweite Ableitung berechnen? Und die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen?

a) f' (x) = 3

Nullstellen? Keine vorhanden, das heißt es ist eine parallele Gerade zur x-Achse? Monotonie ist keiner erkennbar, richtig?

b) f' (x) = - 2 x

- 2 x = 0

x = 0

d . h

. Intervalle von

] - \infty,0 [

und

] 0, \infty [

Wenn ich jetzt

f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 = 2

und

2 > 0 d . h

. Funktion steigt, aber das tut sie doch gar nicht...

von

] - \infty,0 [

fällt die Funktion also und von

] 0, \infty [

steigt sie, aber woran kann man das belegen/argumentieren?

c) f' (x) = 4 + 2 x

4 + 2 x = 0 \Rightarrow x = - 2, d . h

. es ergeben sie die Intervalle von:

] - \infty, - 2 [

und

] - 2, + \infty [

Und jetzt wieder Werte einsetzen von vor

- 2

und nach

- 2

d)

ist doch Null, also

f' (x) = 0, d . h

. gibt nichts? Was soll ich schreiben?

e) f' (x) = 4 x^{3} - 4 x

4 x^{3} - 4 x = 0

4 x (x^{2} - 1) = 0

x = 0

oder

x = \pm 1

Also Intervalle von

] - \infty, - 1 [

und

] - 1,0 [

und

] 0,1 [

und

] 1, + \infty [

f' (- 2) < 0

Funktion fällt also usw, immer die Werte von davor und danach einsetzen?

Danke Euch!
Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Sams83 aktiv_icon

19:50 Uhr, 15.03.2015

Hallo,

die Ableitungen hast Du jeweils richtig berechnet. Allerdings scheinst Du noch Probleme mit der Interpretation zu haben.

Du schreibst richtig: Wenn

f' (x) > 0,

dann ist

f (x)

streng monoton steigend und für

f' (x) < 0

ist

f (x)

streng monoton fallend.

bei

a)

f' (x) = 3 > 0

für alle

x; f (x)

ist also streng monoton steigend über den kompletten Definitionsbereich (ist ja auch eine Gerade).

bei

b)

f' (x) = - 2 x

f' (x) > 0

für

x < 0

und

f' (x) < 0

für

x > 0,

also ist

f (x)

streng monoton fallend für

x < 0

und streng monoton steigend für

x < 0

. (Du hattest ja geschrieben, dass die Funktion für

x = - 1

nicht steigt, wie kommst Du darauf?)

Soweit klar?

c)

entsprechend

b)

für die zwei Intervalle

d) f' (x) = 0

für alle

x, d . h

. die Funktion

f (x)

hat die Steigung

0,

steigt oder fällt nicht, ist eine Parallele zur x-Achse.

e)

entsprechend b)für die 3 Intervalle

Jetzt klarer?
Mir scheint, dass Du in Deiner Argumentation

f' (x)

und

f (x)

manchmal durcheinandergebracht hast und deshalb die Lösungen nicht verstanden hast.

Eleonora71 aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.03.2015

(Du hattest ja geschrieben, dass die Funktion für x=−1 nicht steigt, wie kommst Du darauf?)

Ja, ich dachte man muss halt immer zwischen den Nullstellen Werte "vor" der Nullstelle und nach der Nullstelle einzusetzen um halt zu gucken?

e) f (x) = x^{4} - 2 x^{2}

f' (x) = 4 x^{3} - 4 x

Aber die Intervalle stimmen doch?
Jetzt muss ich zwischen den Nullstellen Werte "vor" der Nullstelle und nach der Nullstelle einzusetzen um halt zu gucken ob es größer Null oder kleiner Null ist?

Sams83 aktiv_icon

20:26 Uhr, 15.03.2015

Ja, genau.
Wenn ein Wert im Intervall größer oder kleiner 0 ist, ist das gesamte Intervall größer oder kleiner 0.

Eleonora71 aktiv_icon

20:49 Uhr, 15.03.2015

Hmm. Also nehme ich einfach mal

z . B

. bei

e)

Also Intervall

] - \infty, - 1 [z . B

f' (- 2) < 0

Funktion ist monoton fallend
Also Intervall

] - 1, 0 [z . B

f' (- 0,5) > 0

Funktion ist monoton steigend
Und im Intervall

] 0, 1 [z . B

f' (0,5) < 0

Funktion ist monoton fallend
Also Intervall

] 1, - \infty [z . B

f' (2) > 0

Funktion ist monoton steigend

richtig?

Sams83 aktiv_icon

20:58 Uhr, 15.03.2015

Alles korrekt. Siehe auch Zeichnung der Funktion im Anhang.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Eleonora71 aktiv_icon

21:48 Uhr, 15.03.2015

Okay, super danke!

f) f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 9 x + 1

f' (x) = \frac{2}{3} x - 9

\frac{2}{3} x - 9 = 0

x = \frac{27}{2} = 13,5

f' (13) = - \frac{1}{3} < 0

Funktion monoton fallend

f' (14) = \frac{1}{3} > 0

Funktion monoton steigend

Kann das sein? Aber was ist mit den Intervallen?

Sams83 aktiv_icon

22:39 Uhr, 15.03.2015

Ja, auch richtig:
Für

x < 13,5 :

monoton fallend
Für

x > 13,5

monoton steigend

Jeweils Intervalle bis

- \infty

bzw.

\infty

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Zeichnung betrachten

Eleonora71 aktiv_icon

13:20 Uhr, 16.03.2015

Es gibt ja die zwei Fälle

f' (x) > 0

und

f' (x) < 0

was ist denn wenn

f' (x) = 0

ist? Was bedeutet das? Und was kann ich als Antwort schreiben?

Eleonora71 aktiv_icon

17:34 Uhr, 16.03.2015

Bei

b)

ist das doch falsch aber?

"f′(x)>0 für

x < 0

und f′(x)<0 für

x > 0,

also ist

f (x)

streng monoton fallend für

x < 0

und streng monoton steigend für x<0."

für

x < 0

ist es streng monoton steigend

- 2

mal -

i

.was ist

> 0

für

x > 0

ist es streng monoton fallend

- 2

mal was positivem ist

< 0

So muss es doch richtig sein?

Und die Intervall sind doch

] - \infty, 0 [

und

] 0, \infty [

Sams83 aktiv_icon

22:17 Uhr, 16.03.2015

Sorry, da habe ich beide Male

x < 0

geschrieben...

Richtig ist, wie Du geschrieben hast:

b) f (x) = - x^{2} + 3

f' (x) = - 2 x

Für

x < 0 : f' (x) > 0 :

streng monoton steigend für

] - \infty,0]

Für

x > 0 : f' (x) < 0 :

streng monoton fallend für

[0, \infty [

Zu Deiner anderen Frage:

Wenn

f' (x) = 0

ist, heißt es dass die Steigung

= 0

ist.
Ist dies kontinuierlich der Fall über die gesamte Funktion, heißt es, dass die Funktion

f (x)

konstant ist (also eine Parallele zur x-Achse).

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