Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Notwendige und hinreichende Bedingung / Extrema

Notwendige und hinreichende Bedingung / Extrema

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Extrempunkt, Funktion, Maximum, Minimum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
divad

divad aktiv_icon

19:25 Uhr, 09.01.2019

Antworten
Hallo.

Ich bin gerade dabei mein Skript zusammenzufassen und benötige nochmal
bei der Berechnung von Extrempunkten Hilfe.

Ich hatte es bisher so verstanden.
Wir haben zwei Bedingungen, die wir erfüllen müssen, um Extrempunkte zu berechnen.

1) Notwendige Bedingung -→ erste Ableitung f'(x)=0 setzen und anschließend die ermittelten Werte
in
2) hinreichende Bedingung -→ die zweite Ableitung f''(x) setzen und dann bestimmen, ob es sich um Max. oder Min. handelt
also f''(x)>0= Min., f''(x)<0= Max.

Nun habe ich in meinem Skript folgende Seiten dazu gefunden, die mir das um ehrlich zu sein, unverständlich gemacht haben.
Ich habe die drei Folien angehängt und hoffe, dass ihr mir helfen können.

Ich verstehe bspw. die drei Bedingungen nicht, von denen eins mindestens erfüllt werden muss
(1) f'(c)=0
(2) f'(c)= existiert nicht
(3) c liegt auf dem Rand von I???

und auch nicht wieso bei hinreichender Bedingung nun die erste Ableitung überprüft, ob es sich um Max. oder Min. handelt.
Diese Folie kann ich leider nicht anhängen. Dort steht:

Test der 1.Ableitung
Voraussetzung: Die 1.Ableitung f'(X) existiert für alle x Elemente I
Dann ist eine hinreichende Bedingung für einen globalen Maximumpunkt c∈I:
Für alle x Elemente I gilt:
f'(x)≥0 für x≤c-→c ist ein Max. von f∈I
f'(x)≤0 für x≥c-→c ist ein Max. von f∈I

analog:
f'(x)≤0 für x≤c-→c ist ein Min. von f∈I
f'(x)≥0 für x≥c-→c ist ein Min. von f∈I



Hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

NotwendigeB
Hinreichende

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Bummerang

Bummerang

18:42 Uhr, 10.01.2019

Antworten
Hallo,

Deine Verwirrung ist darin begründet, dass Du mit den Begriffen, also deren Bedeutung, deren Voraussetzungen und deren Abhängigkeiten, nicht sicher bist und dadurch einiges durcheinander bringst! So etwas bezeichnete man früher als "gefährliches Halbwissen".

Du schreibst z.B.:



"Ich hatte es bisher so verstanden.

Wir haben zwei Bedingungen, die wir erfüllen müssen, um Extrempunkte zu berechnen.

1) Notwendige Bedingung -→ erste Ableitung f′(x)=0 setzen und anschließend die ermittelten Werte in

2) hinreichende Bedingung -→ die zweite Ableitung f′′(x) setzen und dann bestimmen, ob es sich um Max. oder Min. handelt

also f′′(x)>0= Min., f′′(x)<0= Max."

Ich versuche mal alle Punkte, die darin auf Halbwissen deuten aufzuzählen:

1. "... die wir erfüllen müssen, ..."

Natürlich muss eine notwendige Bedingung erfüllt sein, aber eine hinreichende Bedingung muss es nicht! So hat z.B. die Funktion f(x)=x4 an der Stelle x=0 offensichtlich ein Minimum. Die Ableitung f'(x)=4⋅x3 liefert auch an genau der Stelle x=0 den Wert f'(0)=0. Aber die zweite Ableitung f''(x)=12⋅x2 ist an der Stelle x=0 nicht größer als Null, sondern es ist f''(0)=12⋅02=12⋅0=0. Daran kann man erkennen, dass nicht beide Bedingungen erfüllt sein MÜSSEN.

2. "... erfüllen müssen, ..."

Man muss selten etwas bestimmtes machen, es gibt i.d.R. immer mehrere Wege! Der hier von Dir aufgezeigte Weg ist maximal für zwei Mal differenzierbare Funktionen geeignet, denn nur für diese existieren f'(x) und f''(x) überhaupt. Bei einer Funktion f(x)=|x|, die offensichtlich an der Stelle x=0 ein lokales Minimum hat, scheitert dieses Vorgehen bereits daran, dass die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert, da:

-1=limh→0,h>0|x-h|-|x|h=-1≠limh→0,h>0|x+h|-|x|h=1

3. "... um Extrempunkte zu berechnen."

Hier muss man klar erwähnen, dass es lokale und globale Extrempunkte gibt! Eine Ermittlung von Extrempunkten mittels nullzusetzender Ableitung, ermittelt maximal die lokalen Extrempunkte, die man auch stationäre Punkte nennt. Um globale Extrempunkte ermitteln zu können, muß man andere Wege gehen!

Aus diesen drei Punkten erkennt man, dass Dein Wissen "nur" für gutmütige Funktionen (siehe 1.,f''(x)≠0 für alle x, für die f'(x)=0 ist) gilt, man damit "nur" zwei mal differenzierbare Funktionen untersuchen kann (2. f'(x) und f''(x) müssen ja existieren!) und man damit "nur" lokale Extrempunkte ermittel kann.

Überhaupt stört es mich, dass Du ständig von Extrempunkten redest, allerdings wundert es mich nicht, denn es wird Dir ja in deinen Folien falsch vorgeschrieben! So steht in der ersten Folie:

"Jeder Extrempunkt c innerhalb von I ..."

Aus dem dann Folgendem geht aber unmissverständlich hervor, dass I ein (reelles) Intervall ist. Die Werte aus I dienen als Argumente der Funktion f. Dann ist aber c∈I kein Punkt (also auch kein Extrempunkt!), sondern eine Stelle und bei der Erfüllung eines der folgenden Kriterien eine Extremstelle und kein Extrempunkt! Ein Extrempunkt ist dann (c;f(c)), wobei f(c) der jeweilie Extremwert ist. Es ist unabdingbar, dass mandiese Begriffe nicht vermischt, wie will man sonst deren ermittlung beschreiben? So etwa? "Zunächst ermittelt man den Extrempunkt c, dann berechnen wir den Wert f(c) und haben zeichenen dann den Extrempunkt (c;f(c)) in unser Koordinatensystem." Merkst Du was? "Extrempunkt c" und "Extrempunkt (c; f(c))"! Zwei Mal der selbe Begriff, zwei unterschiedliche Dinge! Was soll man dann ermitteln, wenn da steht: Ermittle die Extrempunkte? Eine Menge {c1,c2,c3,...} oder eine Menge {(c1;f(c1)),(c2;f(c2)),(c3;f(c3)),...}?

Außerdem würde ich an dieser Stelle niemals schreiben, dass "c innerhalb von I" ist! Diese Formulierung lässt die Interpretation zu, dass c NICHT auf dem Rand von I liegen darf. Das führt spätestens dann zu Verwirrungen, wenn wie hier im Punkt 3 behauptet wird, dass dann c "auf dem Rand von I" liegt! Hier sollte einfach die mathematisch eindeutige und richtige Bezeichnung "c in I" benutzen und umgeht somit alle Probleme!

Also tue ich mal so, als ob auf der ersten Folie stehen würde: "Jede Extremstelle c∈I ...". Da sieht man schon den Unterschied zu Deinem Wissen! Hier ist JEDE Extremstelle gemeint, also nicht "nur" lokale Extremstellen. Der Punkt 1 erfasst lokale Extremstellen für überall auf I differenzierbare Funktionen. Der Punkt 2 erfasst lokale Extremstellen für nicht überall auf I differenzierbare Funktionen (z.B. f(x)=|x|, da existiert f'(0) nicht) und der Punkt 3 erfasst die Randpunkte, die globale Extremstellen sein können, ohne lokale Extremstellen zu sein. Die Funktion f(x)=x hat ja auf dem Intervall [0,1] keine lokalen Extremstellen, denn f'(x)=1 ist überall ungleich Null. Trotzdem hat man mit f(0)=0 einen minimalen Wert und damit mit x=0 eine globale Minimumstelle. Analog ist x=1 eine globale Maximumstelle mit f(1)=1 als maximalem Wert.

Lange Rede kurzer Sinn! Du hast auf der Folie 1 (mit meinen Korrekturen) die notwendigen Bedingungen für eine BELIEBIGE Extremstelle!

Für die Folie 2 gilt meine Kritik an der Verwendung des Wortes "Extrempunkt" in gleicher Weise wie bei der ersten Folie.

Und jetzt zu der dritten Folie. Da sie leider nicht im Original, sondern nur in Deiner Abschrift vorliegt, weiss ich nicht genau, ob diese Folie falsch ist oder Du diese Fehler mangels besseren Wissens eingebaut hast.


"Dann ist eine hinreichende Bedingung für einen globalen Maximumpunkt c∈I:
Für alle x Elemente I gilt:
f′(x)>=0 für x≤c-→c ist ein Max. von f∈I

f′(x)<=0 für x≥c-→c ist ein Max. von f in I"

Wahrscheinlich schon im Original falsch: "für einen globalen Maximumpunkt c in I"! Richtig wäre: "für eine globale Maximumstelle c in I"!

So wie das hier im Folgenden steht lässt das die Interpretation zu, dass nur eine der beiden angegebenen Bedingung erfüllt sein muss, damit c eine (globale) Maximumstelle ist. Ein einfaches Gegenbeispiel ist f(x)=x3. Nachdem für c=0 die notwendige Bedingung f'(c)=3⋅c2=3⋅02=3⋅0=0 erfüllt ist, gilt für alle x≤c natürlich, dass f'(x)=3⋅x2≥0 ist. Aber trotzdem ist c=0 keine lokale Maximumstelle und damit auch keine globale Maximumstelle! Will man diesen Teil richtiger formulieren, müsste man z.B. so vorgehen:

"Dann ist eine hinreichende Bedingung für eine globale Maximumstelle c∈I:
Für alle x∈I gilt:
f′(x)>=0 für x≤c UND f′(x)<=0 für x≥c-→c ist eine globale Maximumstelle von f in I"

Bei der Funktion f(x)=x3 trifft nämlich der zweite Teil nicht zu, dort ist für x≥0 dann f'(x)≥0 und nicht f'(x)≤0.

Für mich auch unverständlich ist, wieso man bei der Angabe der notwendigen Bedingung eine allgemeingültige Liste von Kriterien für alle Funktionen anbietet, bei der hinreichenden Bedingung für eine globale Extremstelle aber die Differenzierbarkeit auf ganz I, also auch an der Stelle c∈I fordert! Hat man bei der notwendigen Bedingung die Funktion f(x)=|x| berücksichtigt, schließt man sie hier aus, obwohl es einfach wäre, diese auch mit aufzunehmen:

"Dann ist eine hinreichende Bedingung für eine globale Maximumstelle c∈I:
Für alle x∈I gilt:
f'(x) existiert nicht oder f′(x)>=0 für x<c UND f′(x)<=0 für x>c-→c ist eine globale Maximumstelle von f in I"

Allerdings muss man dan auch die Voraussetzungen ändern. Insgesamt würde das dann z.B. so aussehen:

"Voraussetzung: Die 1.Ableitung f′(x) einer stetigen Funktion f existiert für fast alle x∈I.

Dann ist eine hinreichende Bedingung für eine globale Maximumstelle c∈I:
Für alle x∈I gilt:
f'(x) existiert nicht oder f′(x)>=0 für x<c UND f′(x)<=0 für x>c-→c ist eine globale Maximumstelle von f∈I

analog:
f'(x) existiert nicht oder f′(x)<=0 für x<c UND f′(x)>=0 für x>c-→c ist eine globale Minimumstelle von f in I"

Die verwendete Formulierung "für fast alle x" bedeutet hier, wie sonst auch üblich, "für alle x bis auf endlich viele". So kann man diese hinreichende Bedingung z.B. auch für die Funktion

f(x)={(2⋅|x|-1  fuer  |x|≥1        |x|  fuer  |x|<1        )}

anwenden, da f'(x) für alle x∈ℝ\{-1,0,1} existiert und diese Funktion stetig ist.

Warum man sich auf dieser Folie auf die erste und nicht wie bei Dir bekannt auf die zweite Ableitung bezieht, sollte Dir inzwischen auch klar geworden sein:

1. Die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung ist nur ein Weg für eine hinreichende Bedingung, es gibt halt mehrere Wege!

2. Dieses hinreichende Bedingung für eine globale Extremstelle funktioniert auch noch dann, wenn es gar keine zweite Ableitung gibt!

Gerade letzterer Fall deckt solche Funktionen wie z.B.

f(x)= sgn(x)*x^2

ab. Dabei ist die benutzte Funktion sgn(x) die Signum-Funktion, die einem reellen Wert x den Wert -1 zuordnet, wenn x<0 ist, den Wert 1 zuordnet, wenn x>0 ist und den Wert 0 zuordnet, wenn x=0 ist. Der Graph dieser Funktion geht durch den Ursprung und liegt im ersten und dritten Quadranten. Dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und entspricht im ersten Quadranten dem Graphen der Funktion f(x)=x2 (man sagt auch, dass der Graph dieser Funktion im ersten Quadranten gleich dem rechten Parabelast der Funktion f(x)=x2 ist). Die erste Ableitung dieser Funktion ist f'(x)=2⋅|x|. Die zweite Ableitung existiert nicht, wenn 0∈I ist. Sei I =[-1;1]. Mit der hier versuchten Definition einer hinreichenden Bedingung stellt man fest, dass x=0 keine globale Extremstelle ist, da für alle x gilt, dass f'(x)≥0 ist, sowohl für x<0, als auch für x>0. Aber, am Rand, wenn x=-1 ist, dort gibt es keine x∈I mit x<-1, dort muss es keine Werte f'(x)≤0 geben. Dort ist die Bedingung erfüllt, dass

f'(x) existiert nicht oder f′(x)<=0 für x<-1 UND f′(x)>=0 für x≻1-→-1 ist eine globale Minimumstelle von f in I"

Analog gilt für x=1:

f'(x) existiert nicht oder f′(x)>=0 für x<1 UND f′(x)<=0 für x>1-→1 ist eine globale Maximumstelle von f in I"

Ich denke, dass das erstmal reicht, um Dir einerseits das Thema etwas klarer werden zu lassen und andererseits Du erkennst, dass Du die Begriffe besser beherrschen musst. Und vielleicht kannst Du der Person, die diese Folien erstellt oder Dir zukommen lassen hat mal einen Tip geben, dass dort die Begriffe Extrempunkt, Maximumpunkt und Minimumpunkt oft falsch verwendet werden und es sich eigentlich um Extremstellen, Maximumstellen und Minimumstellen handelt!
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:55 Uhr, 10.01.2019

Antworten
Hallo
1. f'(c)=0 und f''(c)<0 heisst f' ist an der Stelle c fallend. das kann man auch feststellen mit f'(x)>0 für x<c und f'<=für x>c
( man benutzt es wenn f'' auszurechnen viel mühsamer ist als 2 Stellen nahe c von f' zu berechnen.)
jetzt zu den 3 notwendigen Bedingungen:
wenn ein Intervall endlich ist, in dem man f(x) betrachtet, etwa f(x)=x2 für -1≤x≤2 hat man bei x=0 ein Minimum, bei x=2 aber den größten Wert, also ein Maximum in diesem Gebiet, man nennt es Randmaximum.
Funktionen wie etwa f(x)=|x| ist bei 0 nicht differenzierbar , hat da aber ein Minimum. g(x)=-|x-1| hat bei x=1 ein Max und ist da nicht diffb.
Frage auf dem Letztm en Blatt: für Max.
1. Punkte links und recht von Max haben kleinere Werte.
oder f' links von Max >0 rechts kleiner 0. oder f''(x)<0 oder falls f''=0 dann f''''<0
Randmax: alle Werte im Intervall sind kleiner als das Randmax
Gruß ledum
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:55 Uhr, 10.01.2019

Antworten
Hallo
sorry Doppelpost und ich hatte die erste gute Antwort nicht gesehen-
Gruß ledum
Antwort
Bummerang

Bummerang

19:07 Uhr, 10.01.2019

Antworten
Hallo,

durch den Post von ledum kann ich oben leider nicht mehr korrigieren, aber mir ist da an einer Stelle ein Vorzeichen abhanden gekommen, deshalb hier die nachgeschobene Korrektur. Statt

f′(x) existiert nicht oder f′(x)<=0 für x<−1 UND f′(x)>=0 für x≻1-→ −1 ist eine globale Minimumstelle von f in I"

Sollte es richtig heißen:

f′(x) existiert nicht oder f′(x)<=0 für x<−1 UND f′(x)>=0 für x>-1-→ −1 ist eine globale Minimumstelle von f in I"

PS a@ledum

Dein Vorschlag, bei f''(x)=0 auf f''''(x) zurückzugreifen, funktioniert höchstens für lokale Extremstellen und scheitert bereits bei so einfachen Funktionen wie

f(x)=x+sin(x)

Die erste Ableitung f'(x)=1+cos(×) hat die Nullstellen π+2⋅k⋅π=(2⋅k+1)⋅π. Säämtliche geradzahligen Ableitungen sind ±sin(x) und damit an den Nullstellen der ersten Ableitung Null.

Mit dem hier angegebenen hinreichenden Kriterium aber funktioniert die Prüfung.
Frage beantwortet
divad

divad aktiv_icon

13:55 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Vielen lieben Dank euch beiden!
(und nein habe die dritte Folie kopiert, also nichts verändert)..