Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nullstellen bei Wurzelfunktion mit Bruch

Nullstellen bei Wurzelfunktion mit Bruch

Universität / Fachhochschule

Tags:

alexg aktiv_icon

02:09 Uhr, 03.07.2013

Liebe Leute,

hab wieder eine Frage... hoffe diesmal kann mir jemand helfen.

Ich steh gerade auf der Leitung. Wenn ich eine Funktion habe wie

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 4}}

oder anders ausgedrückt

f (x) = {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}

und ich die Nullstellen berechnen will. Dann setze ich die Funktion einfach gleich Null.

Wenn ich schreibe

{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} = 0

dann kann ich links und rechts hoch minus 2 rechnen und bekommen

(x - 4) = 0

und

x = 4

. Das kann man auch logisch schlussfolgern. Habe also eine NULLSTELLE bei

x = 4!

Wenn ich das aber anders anschreibe, nämlich

\frac{1}{\sqrt{x - 4}} = 0,

dann habe ich ein Problem. Ich darf ja nicht durch 0 dividieren, und somit kann

\sqrt{x - 4}

nicht gleich Null sein. Somit wäre auch

(x - 4)

nicht gleich 0 und ich hätte KEINE NULLSTELLE.

Die Zeichnung zeigt, dass es tatsächlich eine Nullstelle bei

x = 4

geben muss. Aber wo ist mein Denkfehler bei der zweiten Rechenvariante, wo ich den Bruch (eins durch die Wurzel) gleich Null setze und auf keine Nullstellen komme?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!

Liebe Grüße,
Alex

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

09:56 Uhr, 03.07.2013

. .

. offensichtlich gibt's keine Nullstelle. weil es keine Zahl gibt, für die

\frac{1}{n} = 0

Und die Umformungen müssen zulässig sein!

So ist "hoch minus 2" keine zulässige Äquivalenzumformung, da:

0^{- 2} = \frac{1}{0^{2}} = \frac{1}{0}!!!!!!

Mach doch einfach, was erlaubt ist:

\frac{1}{\sqrt{x - 4}} = 0

nun beide Seiten

\cdot \sqrt{x - 4},

dies ergibt:

1 = 0

Da diese Aussage falsch, heißt es, es gibt KEINE Nullstelle.

;-)

rundblick aktiv_icon

10:55 Uhr, 03.07.2013

ZITAT

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 4}}

und ich die Nullstellen berechnen will.
ZITAT ENDE

Es soll Leute geben, die wissen:
Ein Bruch kann nur dann den Wert 0 haben, wenn der Zähler den Wert 0 hat.
Tipp:
finde also heraus, wie der Zähler deines Bruches aussieht
usw..

alexg aktiv_icon

11:05 Uhr, 03.07.2013

Ok, vielen Dank, jetzt seh ich das auch! Weiß auch nicht wieso ich da so verwirrt war!

\land

Eine Frage noch, da ich immer noch bei den Wurzelfunktionen (mit Brüchen) hänge.

Wenn ich habe

f (x) = {(2 x + 2)}^{- \frac{3}{5}}

Das entspricht doch

\frac{1}{{(\sqrt[5]{2 x + 2})}^{3}}

oder

\frac{1}{\sqrt[5]{{(2 x + 2)}^{3}}}

NULLSTELLEN: gibt es dann KEINE, gleich wie oben, stimmt?

Definitionsbereich ist

x \in ℝ \ - 1

da unter dem Bruchstrich keine Null stehen darf.

Aber jetzt habe ich versucht Monotonie und Krümmung auszurechnen und den Graphen zu zeichnen.

Laut Funktionszeichner im Internet (siehe Bild Anhang) ist die Funktion monoton fallend und ergibt eine konvexe Kurve im rechten oberen Teil des Koordinatensystems, beschränkt mit

x > - 1

.

Müsste sich diese Kurve aber nicht links unten im Koordinatensystem spiegeln? Es könnte ja auch

x < - 1

sein! Es darf nur nicht genau

- 1

sein.

Wenn ich die Monotonie berechne bekomme ich monoton fallend für alle

x

außer

x = - 1

also für alle

x < - 1

und

x > - 1

. Und für die Krümmung erhalte ich:

f'' (x) = (\frac{24}{25}) \cdot \frac{1}{{(\sqrt[5]{2 x + 2})}^{13}}

Die Kurve ist konkav wenn die zweite Ableitung

< 0,

was der Fall ist wenn

{(\sqrt[5]{2 x + 2})}^{13} < 0

Nachdem hier keine geraden Hochzahlen oder Wurzeln vorkommen, ist der Term nicht zwingend positiv. Der Term ist kleiner Null wenn gilt

2 x + 2 < 0

x < - 1

Und die Kurve ist konvex wenn die zweite Ableitung

> 0

also

{(\sqrt[5]{2 x + 2})}^{13} > 0

2 x + 2 > 0

x > - 1

Es gäbe somit zwei Kurven, eine konkav gekrümmte im linken unteren Bereich des Koordinatensystems (monoton fallend) und eine konvex gekrümmte im rechten oberen Bereich (ebenfalls monoton fallend). Auch wenn ich positive und negative Werte für

x

einsetze, komme ich zu dem Ergebnis, dass es zwei Kurven geben muss.

Aber der Funktionszeichner zeigt mir nur eine Kurve an!

Weiß jemand ob der Graph nun aus einer oder zwei Kurven besteht?

Danke schonmal...

LG,
Alex

prodomo aktiv_icon

11:20 Uhr, 03.07.2013

Das hier ist ein Fall, auf den die Programme für Funktionsplotter und auch viele GTR allergisch reagieren, nämlich ein Bruch mit zwei ungeraden Zahlen als Exponent. Die fünfte Wurzel aus einer negativen Zahl ist ja berechenbar, insofern existiert auch ein zweiter Kurvenast. Beide sind durch

x = - 1

(senkrechte Asymptote) getrennt.

alexg aktiv_icon

17:07 Uhr, 03.07.2013

Ok, danke! Dann ist jetzt alles klar! :-)

Liebe Grüße,
Alex

1104580

1104509

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?