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Nullstellen einer mehrdimensionalen Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Funktionalanalysis, Mehrdimensionale Kurvendiskussion, Partielle Differentialgleichungen

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16:05 Uhr, 30.07.2019

Hallo,

ich lerne gerade für die Matheklausur und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Ich soll die lokalen Maxima und Minima folgender Funktion berechnen:

f(x,y)=

(y^{2} + 4 x^{2}) e^{- 4 y^{2} - x^{2}}

Die partiellen Ableitungen habe ich bereits :

\frac{δ f}{δ x} = - (8 x^{3} + (2 y^{2} - 8) x) e^{- x^{2} - 4 y^{2}}

\frac{δ f}{δ y} = - (8 y^{3} + (32 x^{2} - 2) y) e^{- 4 y^{2} - x^{2}}

Meine Frage ist wie ich denn nun die Nullstellen von dem Gleichungssystem berechne um die kritischen Punkte zu bestimmen?

Über Hilfe wäre ich totaaal dankbar!!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

18:20 Uhr, 30.07.2019

Hallo,

die e-Funktion ist immer größer Null, also folgt aus:

- (8 \cdot x^{3} + 2 \cdot x \cdot y^{2} - 8 \cdot x) \cdot e^{- 4 \cdot y^{2} - x^{2}} = 0

- (8 \cdot y^{3} + 32 \cdot x^{2} \cdot y - 2 \cdot y) \cdot e^{- 4 \cdot y^{2} - x^{2}} = 0

das Gleichungssystem:

8 \cdot x^{3} + 2 \cdot x \cdot y^{2} - 8 \cdot x = 0

8 \cdot y^{3} + 32 \cdot x^{2} \cdot y - 2 \cdot y = 0

Fall

1 : x = 0

\Rightarrow

8 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0 \cdot y^{2} - 8 \cdot 0 = 0

8 \cdot y^{3} + 32 \cdot 0^{2} \cdot y - 2 \cdot y = 0

Die erste Gleichng ist erfüllt, aus der zweiten ergibt sich:

8 \cdot y^{3} - 2 \cdot y = 0

Fall

1.1 : y = 0

Die Gleichung ist erfüllt!

Fall

1.2 : y \neq 0

8 \cdot y^{2} - 2 = 0

y^{2} = \frac{1}{4}

y = \pm \frac{1}{2}

Lösungsmenge für Fall

1 : L_{1} = {(0; - \frac{1}{2}), (0; 0), (0; \frac{1}{2})}

Fall

2 : x \neq 0

8 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} - 8 = 0

8 \cdot y^{3} + 32 \cdot x^{2} \cdot y - 2 \cdot y = 0

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

x^{2} = 1 - \frac{1}{4} \cdot y^{2}

Das in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt:

8 \cdot y^{3} + 32 \cdot (1 - \frac{1}{4} \cdot y^{2}) \cdot y - 2 \cdot y = 0

8 \cdot y^{3} + 32 \cdot y - 8 \cdot y^{3} - 2 \cdot y = 0

30 \cdot y = 0

y = 0

x^{2} = 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{2} = 1

L_{2} = {(- 1; 0), (1; 0)}

Insgesamt ergibt sich:

L = L_{1} \cup L_{2} = {(- 1; 0), (0; - \frac{1}{2}), (0; 0), (0; \frac{1}{2}), (1; 0)}

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09:52 Uhr, 31.07.2019

Super vielen Dank!!

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