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Nullstellen eines Polynoms 3.Grades mit Parameter

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Tags: Funktion, Funktion 3. Grades, Lambda, Linearfaktor

 
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Domi-xdy

Domi-xdy aktiv_icon

20:43 Uhr, 04.11.2015

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Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe in der ich berechnen möchte, für welches Λ dieses Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt Danke im Voraus :-)


x3-3x+a=0
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

22:35 Uhr, 04.11.2015

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Hallo,

Das Polynom kann genau dann in (reelle) Linearfaktoren zerfallen, wenn die Funktion
f(x)=x3-3x+a
drei reelle Nullstellen x1, x2 und x3 hat. Dann sähe das Polynom so aus:
(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0

Und die Funktion hat genau dann drei Nullstellen, wenn ihr Graph dreimal die X-Achse schneidet, oder einmal schneidet und einmal berührt - letzteres ist dann eine doppelte Nullstelle.

Zeichne doch mal die Funktion
f0(x)=x3-3x
auf und berechne die Positionen der Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkt). Weiter überlege, was passiert, wenn f0(x) durch a verändert wird:
f(x)=f0(x)+a
Für welche Werte von a erfüllt der Graph dann die obige Bedingung?

Gruß
Werner
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