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Partielle Ableitung / Satz von Schwarz

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

qtynicole aktiv_icon

13:01 Uhr, 18.01.2014

Die Aufgabe lautet

g (x, y) =

2sin(xy)

Berechnen Se alle zweiten Ableitungen von

g (x, y)

und prüfen sie die Gültigkeit des Satzes von Schwarz

Meine Lösung:
g'x(xy)= 2cos(xy)*y
g'y(xy)= 2cos(xy)*x

g''xx(xy)= -sin(xy)*y*x+2cos(xy)
g''yy(xy)= -sin(xy)*x^2+2cos(xy)

Stimmt das bisher ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

suloo aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.01.2014

Hi,

deine ersten beiden Lösungen stimmen, wobei ich dir empfehlen würde die Schreibweise

\frac{\partial}{\partial x}

bzw.

\frac{\partial}{\partial y}

zu verwenden.

Ich erhalte ansonsten:

\frac{\partial}{\partial y} (2 cos (x \cdot y) \cdot y) = - 2 x y sin (x y) + 2 cos (x y)

\frac{\partial}{\partial x} (2 cos (x y) \cdot x) = - 2 x y sin (x y) + 2 cos (x y)

.

Damit ist hier der Satz von Schwarz gültig.

qtynicole aktiv_icon

13:28 Uhr, 18.01.2014

Ja ich hab das zuerst so hingeschrieben.. Weil das mit dem

d

mich noch etwas verwirrt...

Also ist meine erste ableitung richtig aber die zweite falsch?
Das habe ich ja eig genauso?

. .

. Bei der zweiten ableitung nach

y

habe ich einen Fehler vll kannst du mir das erklären

suloo aktiv_icon

14:05 Uhr, 18.01.2014

Ja das mit dem "d" bzw "

\partial

" ist nur eine Schreibweise.

Deine 1. Ableitung nach

x :

\frac{\partial}{\partial x} g (x y) = 2 cos (x y) \cdot y

Wenn du jetzt nach

y

partiell ableitest betrachtest du

x

als eine Konstante (stell dir einfach vor, das

x

wäre die Zahl

13) :

\frac{\partial}{\partial y} (2 cos (x y) \cdot y) = . .

.

Erst verwenden wir die Produktregel,

u \cdot v = u' \cdot v + u \cdot v'

. Wobei

u = 2 cos (x y)

und

v = y

ist. Wenn du

u

nach

y

ableitest (mittels Kettenregel, wobei

x

als Konstante zu betrachten ist);

u' = - 2 x sin (x y)

. Die innere Ableitung ist

x,

weil da im Sinus etwas in der Art "Konstante

\cdot

y" (wie

z . B

13 y)

steht und das abgeleitet ergibt "Konstante

\cdot

1", also

x

. Jetzt noch

v

nach

y

ableiten, das ergibt 1.

Einsetzen in die Produktregel:

\frac{\partial}{\partial y} (2 cos (x y) \cdot y) = u' \cdot v + u \cdot v'

\frac{\partial}{\partial y} (2 cos (x y) \cdot y) = (- 2 x sin (x y)) \cdot y + (2 cos (x y)) \cdot 1

\frac{\partial}{\partial y} (2 cos (x y) \cdot y) = - 2 x y sin (x y) + 2 cos (x y)

Analog dann für:

"g'y(xy)= 2cos(xy)*x"

Bzw. mathematisch sauberer aufgeschrieben:

\frac{\partial}{\partial x} (2 cos (x y) \cdot x) = . .

.

Auch hier brauchen wir die Produktregel

u \cdot v = u' v + u v'

. Wobei wieder

u = 2 cos (x y)

ist und

v = x

ist. Diesmal leiten wir aber nach

x

ab und betrachten

y

als eine Konstante (denn genau das ist der Sinn einer partiellen Ableitung). Wenn wir

u

nach

x

ableiten erhalten wir

u' = - y \cdot 2 sin (x y)

(Innere Ableitung

\cdot

äußere Ableitung), wenn wir

v

nach

x

ableiten erhalten wir wieder 1.

Wenn wir das in die Formel für die Produktregel einsetzen:

\frac{\partial}{\partial x} (2 cos (x y) \cdot x) = u' v + u v'

\frac{\partial}{\partial x} (2 cos (x y) \cdot x) = y \cdot (- 2 sin (x y)) \cdot x + 2 cos (x y) \cdot 1

\frac{\partial}{\partial x} (2 cos (x y) \cdot x) = - 2 x y sin (x y) + 2 cos (x y)

Ok soweit?

Wir haben quasi erst mal nach

x

abgeleitet und

y

als konstant betrachtet und hinterher nach

y

abgeleitet und

x

als konstant betracht. Und im Anschluss die Reihenfolge vertauscht, mithin erst nach

y

abgeleitet und dann nach

x

. In manchen Fällen spielt die Reihenfolge der partiellen Ableitung eine Rolle. Aber der Satz von Schwarz besagt (für zweimal differenzierbare Funktionen), dass die Reihenfolge der partiellen Ableitung keine Rolle spielt und man dasselbe Ergebnis erhält.

Dein Fehler lag vermutlich darin, dass du beim Ableiten die andere Größe nicht wie eine Konstante behandelt hast (bzw. einen Vorfaktor).

Mit dieser Aufgabe hast du die Gültigkeit des Satzes von Schwarz gezeigt.

qtynicole aktiv_icon

14:25 Uhr, 18.01.2014

Wow danke dürfte ausführliche und wirklich Super Antwort und Erklärung!

Irgendwie haben wir da sin Vorlesung erst so abgeleitet :g"xx(xy) und g"yy(xy) und dann g"xy(xy) und g"yx(yx) wobei das letztere dann der Beweis vom Satz war...

Soweit so gut,.. Hab ich alles verstanden :-)

Aufg.

B)

lautet nun:
Geben sie den linearen Anteil des Zuwachses der Funktion an. Ist das Differential vollständig (Begründung

!)

suloo aktiv_icon

14:32 Uhr, 18.01.2014

Du kannst natürlich auch zweimal nach

x

und zweimal nach

y

ableiten (hat dann aber mit dem Satz von Schwarz wenig zu tun).

Nur damit du die Ergebnisse hast und mit der Schreibweise gewohnt bist:

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} g (x, y) = - 2 y^{2} sin (x y)

\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} g (x, y) = - 2 x^{2} sin (x y)

Bei

b)

kann ich dir leider nicht weiterhelfen.

qtynicole aktiv_icon

14:38 Uhr, 18.01.2014

Das war jetzt die zweite Ableitung stimmt's?
Wenn aber die erste ableitung 2cos(xy)*y bzw

\cdot x

war
Was war dann : -sin(xy)xy*2cos(xy) .. Dachte das ist eine der zweiten Ableitungen

. . \in

dem Fall nach

x

Und da konnte man ja den Satz von Schwarz zeigen..
Bin grad bisschen verwirrt Sorry

suloo aktiv_icon

15:02 Uhr, 18.01.2014

Alles was wir vorher gemacht haben war: Erst nach

x,

danach nach

y

(partiell) ableiten oder erst nach

y,

danach nach

x

(partiell) ableiten.

In meinem letzten Beitrag ging es darum zweimal nach

x

und zweimal nach

y

partiell abzuleiten.

Es sind quasi vier verschiedene "zweite Ableitungen", je nach Reihenfolge.

qtynicole aktiv_icon

15:10 Uhr, 18.01.2014

Ahja okay verstanden :-)!
Also sozusagen vier Versionen der 2. Ableitung, wobei die erste Version den Satz von Schwarz zeigt !

Habe noch Aufgaben zu integralen mit zwei Variablen und somit auch 4 versch. Grenzen
Kannst du mir sowas erklären? (Kannst so gut erklären :-)))))

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