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Partielle Ableitung eines Bruches

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

GregoryHouse aktiv_icon

18:06 Uhr, 01.08.2020

Hallo zusammen,

ich möchte folgende Funktion nach c ableiten:

p = \frac{2 b c}{2 a c + 1}

Ich Lösung soll folgendermaßen lauten:

\frac{2 b}{(1 + 2 a c) ²}

Ich bin folgendermaßen vorgegangen, komme aber leider nicht auf die Lösung:

\frac{\partial p}{\partial c} = \frac{\partial}{\partial c} c \frac{\partial}{\partial c} (\frac{2 b}{2 a c + 1})

1 \frac{\partial}{\partial c} 2 b (\frac{1}{2 a c + 1})

2 b \frac{\partial}{\partial c} (2 a c + 1)^{- 1}

2 b (- (2 a c + 1)^{- 2} \cdot 2 c)

- \frac{4 b c}{(2 a c + 1) ²}

Ist vielleicht die Lösung falsch oder liegt es mal wieder an mir?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pivot aktiv_icon

18:27 Uhr, 01.08.2020

Hallo,

du musst die Produktregel angewendet werden.

f (c) = 2 b \cdot \underset{u}{\underset{⎵}{c}} \cdot \underset{v}{\underset{⎵}{(2 a c + 1)^{- 1}}}

Bei der Ableitung von

v

die Kettenregel anwenden.

Gruß
pivot

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18:27 Uhr, 01.08.2020

Benutze die Quotientenregel!

GregoryHouse aktiv_icon

18:32 Uhr, 01.08.2020

Was jetzt? :-D) Produkt- oder Quotientenregel? Das mit der Produktregel habe ich noch nicht ganz verstanden.

Atlantik aktiv_icon

18:46 Uhr, 01.08.2020

Ich mach es mal mit der Quotientenregel:

p (c) = \frac{2 b c}{2 a c + 1}

p

(c) = \frac{2 b \cdot (2 a c + 1) - 2 b c \cdot 2 a}{{(2 a c + 1)}^{2}} = \frac{4 a b c + 2 b - 4 a b c}{{(2 a c + 1)}^{2}} = \frac{2 b}{{(2 a c + 1)}^{2}}

mfG

Atlantik

pivot aktiv_icon

18:48 Uhr, 01.08.2020

Je nachdem wie du es schreibst. Jetzt mal zu meinem Vorschlag: Produktregel:

(u \cdot v)^{ʹ} = u^{ʹ} \cdot v + u \cdot v^{ʹ}

GregoryHouse aktiv_icon

21:54 Uhr, 01.08.2020

Vielen Dank soweit für eure Hilfe!!!

Ich habe eine grundsätzliche Frage: Wie geht man am besten vor, wenn man einen Bruch partiell ableiten muss.

Ich habe z.B. diesen Bruch hier:

\frac{b - 2 (x (a) + a c)}{b} = 0

Jetzt soll der Bruch nach a abgeleitet werden.

"Intuitiv" würde ich einfach:

\frac{b - 2 (\frac{\partial x (a)}{\partial a} + c)}{1}

.

Aber das geht nicht. Wie sollte man am besten in einer solchen Situation verfahren? Ich habe versucht unter dem Stichwort "partielle Ableitung von Brüchen" etwas zu finden, doch leider ohne Erfolg. Deshalb hoffe ich nun, dass ihr mir da ein bisschen weiterhelfen könnt.

Vielen Dank!

Roman-22

00:17 Uhr, 02.08.2020

Der Summand

b

ergibt doch nach a abgeleitet Null.
Und das

b

im Nenner kannst du dir auch als konstanten Faktor

\frac{1}{b} \cdot (Z a e h l e r)

denken, das bleibt also einfach erhalten.

Somit ergibt sich

\frac{0 - 2 \cdot (...)}{b}

als Ableitung nach

a

.

Es handelt sich hier zwar um einen Bruch, aber da der Nenner konstant ist, also die Variable, nach der abgeleitet wird, nicht enthält, wäre es zwar nicht falsch, aber unnötig aufwändig, die Quotientenregel anzuwenden.

Du scheintst dir da aber "intuitiv" falsche Regeln zurecht gelegt haben. Bei deinem ersten Beispiel tust du so, als dürfe man bei einem Produkt einfach jeden Faktor einzel differenzieren und bei deinem letzten hast du offenbar eine ähnlich falsche "Regel" für den Bruch angewandt (mit den zusätzlichen Fehler, dass du

b

anstelle von 0 geschrieben hast).

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