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Partielle Ableitung + euklidische Norm

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: euklidische Norm, Partielle Ableitung

8mileproof aktiv_icon

10:39 Uhr, 29.01.2012

also ich hab die aufgabe (s.bild unten) wie folgt gelöst:

nun ja, zu

a)

die partiellen ableitungen waren :

f_{x} (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1}

f_{y} (x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1}

\Rightarrow \nabla

ist somit:

\nabla f (x, y) = (\frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1})

und die euklidische norm ist ja wie folgt definiert:

{| | v | |}_{2} := \sqrt{{| v_{1} |}^{2} + {| v_{2} |}^{2} + ... . . + {| v_{n} |}^{2}}

wenn ich das auf meine aufgabe übertrage, dann hab ich doch:

{| | f (x, y) | |}_{2} = \sqrt{{| \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} |}^{2} + {| \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1} |}^{2}} = \sqrt{\frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{x + y}{x^{2} + y^{2} + 1}}

bis hierhin kam ich alleine ganz gut zurecht...aber danach? also ich meine die stelle in der aufgabenstellung : "...und zeigen Sie, dass für jede wahl von

Γ > 0

usw...."

ich weiß, dass in der bemerkung die kreisgleichung gegeben ist...aber was mach ich damit?

wäre sehr nett, wenn mir da jmd. auf die sprünge helfen würde...;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

11:40 Uhr, 29.01.2012

Hallo,

nach welcher Rechenregel hast Du die Quadrate unter der Wurzel bearbeitet? Ihc kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen.

Im übrigen sehe ich auch das Bild nicht.

Gruß pwm

8mileproof aktiv_icon

12:03 Uhr, 29.01.2012

achhssssooo...ja stimmt ich darf die quadrate unter der wurzel ja nicht weglassen, da ich eine summme habe....shit....ich werds korrigieren...

edit: zu dem bild : ich habs jetzt hinzugefügt...hier nochmal;-)

2.edit: was muss ich jetzt noch machen? das kann doch nicht die lösung sein, oder?

Yokozuna aktiv_icon

15:26 Uhr, 29.01.2012

Hallo,

den Fehler mit den fehlenden Quadraten unter der Wurzel hast Du ja hoffentlich inzwischen behoben. Nun sollst Du die Werte von

{| | \nabla F (x, y) | |}_{2}

auf einem bestimmten Kreis betrachten (es wird behauptet, daß

{| | \nabla F (x, y) | |}_{2}

dort konstant ist). Auf dem Kreis gilt

x^{2} + y^{2} = Γ^{2}

wobei

Γ > 0

gilt. Jetzt siehst Du Dir mal sowohl

{| | \nabla F (x, y) | |}_{2}

als auch die Kreisgleichung

x^{2} + y^{2} = Γ^{2}

an, vielleicht siehst Du dann was.

Viele Grüße
Yokozuna

8mileproof aktiv_icon

18:18 Uhr, 29.01.2012

also ich habe da jetzt folgendes stehen:

... . = \sqrt{{| \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} |}^{2} + {| \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1} |}^{2}} = \sqrt{| \frac{x^{2}}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2}} | + | \frac{y^{2}}{{((x^{2} + y^{2} + 1))}^{2}} |} =

\sqrt{| \frac{x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2}} |} =

und jetzt habe ich

x^{2} + y^{2}

ersetz durch

Γ^{2}

. also:

\sqrt{| \frac{Γ^{2}}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2}} |} =

und heißt, dass jetzt, dass sie konstant ist?

Yokozuna aktiv_icon

18:22 Uhr, 29.01.2012

Im Nenner kannst Du auch noch

x^{2} + y^{2}

ersetzen und Du kannst noch die Wurzel ziehen. Was kommt dann heraus?

Viele Grüße
Yokozuna

8mileproof aktiv_icon

18:28 Uhr, 29.01.2012

okay, dann hab ich

| \frac{\sqrt{Γ^{2}}}{\sqrt{{(Γ^{2} + 1)}^{2}}} | = | \frac{Γ}{Γ^{2} + 1} |

so?

Yokozuna aktiv_icon

18:40 Uhr, 29.01.2012

Ja. Da

Γ > 0

vorausgesetzt war, kann man die Betragsstriche weglassen, da der Zähler

> 0

ist (der Nenner sowieso).
Für alle Punkte auf dem Kreis

x^{2} + y^{2} = Γ^{2}

gilt also

{| | \nabla f (x, y) | |}_{2} = \frac{Γ}{Γ^{2} + 1} =

konstant

Das war alles.

Viele Grüße
Yokozuna

8mileproof aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.01.2012

jo, danke...;-)

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