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Partielle Ableitung nach t von x(t)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, partiell

anonymous

11:52 Uhr, 24.01.2025

Hi, wir sind uns hier nicht einig, was die partielle Ableitung von

x (t)

nach

t

ist. (Allgemein,

x (t)

nicht explizit gegeben)

Die einen sagen

0,

die anderen sagen x‘(t). Könnt ihr uns helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

12:39 Uhr, 24.01.2025

Natürlich x'(t) und nur 0 wenn x(t) unabhängig von x ist . Das soweit x 1d ist (sonst einfach die partiellen Ableitungen aller Komponenten)
Gruß ledum

calc007

13:15 Uhr, 24.01.2025

Hallo
So aus dem Zusammenhang gerissen können wir nicht wirklich wissen, was dein Problem ist.

Sehr sehr typisch, wenn eine Funktion

x (t)

gegeben ist, dann wird man die in schulischen oder praktischen Fällen nach

t

ableiten wollen oder sollen.

"Die einen sagen 0"
So aus dem Zusammenhang gerissen sicherlich nicht allgemein. Die Ableitung einer allgemeinen Funktion ist nur an Extremstellen verschwindend

(\to

hat den Wert Null). Sonst handelt es sich um Sonderfälle, wie ruhende Zustände, Konstanten, Extremwertsuche,

. .

.
Da musst du schon ein wenig mehr durchblicken lassen, was du wirklich willst und im Sinn hast.

"Die andern sagen

x' (t)

"
Geht es dir um die Nomenklatur? Falls ja, dann: Ja,

x' (t)

ist eine sehr gängige Schulbuchbezeichnung für die Ableitung, wenn denn klar ist, was die Variable ist, bzw. nach welcher Größe abgeleitet wird.
Aber auch

\frac{d x}{d t}

oder

\frac{δ x}{δ t}

oder,

. .

. , oder,

...,

oder
sind gängige Bezeichner.
Mach dir klar: Für eine Ableitung einer Funktion gibt es nicht nur eine oder gar eine eindeutige Bezeichnung. Erstens muss klar sein, nach welcher Größe überhaupt abgeleitet wird. Und zweitens gibt es ja vielleicht auch ganz gängige Bezeichner und handelsübliche Größen, die die Ableitung beschreiben und aber völlig andere Bezeichner haben.
Wenn

z . B

x

der Weg und

t

die Zeit ist, wie häufig sehr sehr üblich, dann ist die Ableitung nach der Zeit doch die Geschwindigkeit. Und der kannst du doch problemlos den gängigen Bezeichner
"v"
zuweisen. Du musst nur erklären, was es ist.
Also in diesem (erklärten) Fall vielleicht:

\frac{d x}{d t} = v

PS:
Oder - wenn ich das Beispiel ergänzen darf:
Eine Schuhschachter (Quader) hat das Volumen

V = l \cdot b \cdot h

Wie lautet die Ableitung?
Jetzt zuletzt habe ich genauso unverständig gefragt, wie Du.
Denn:
Du könntest das Volumen nach der Länge

l

ableiten:
dV/dl

= b \cdot h

oder das Volumen nach der Breite

b :

dV/db

= l \cdot h

oder das Volumen nach der Höhe

h :

dV/dh

= l \cdot b

oder umstellen nach zB. der Länge und diese Länge nach der Breite ableiten:

l = \frac{V}{b \cdot h}

dl/db

= - \frac{V}{h \cdot b^{2}}

oder die Länge nach dem Volumen:
dl/dV

= \frac{1}{b \cdot h}

oder die Länge nach der Höhe............................
usw.

. .

u . s . w

. .

anonymous

13:29 Uhr, 24.01.2025

Es handelt sich um die Aufgabe im Anhang, bei der die gegebene Lösung unseres Erachtens nur Sinn ergibt, wenn man

x (t)

bei der partiellen

(!

Nicht der totalen) Ableitung als „Konstante“ betrachtet. Was aber wiederum unlogisch ist, da

x (t)

ja von

t

abhängen kann.

Die Lösung sagt

- 2 cos (x (t)) + 2 t

x‘(t)

sin (x (t))

calc007

17:01 Uhr, 24.01.2025

Immerhin hat sich die Informationsdichte mit dem Scan um

13 : 29 h

etwa verzehnfacht.
Dennoch vermute ich, dass du selbst damit noch nicht einen Drittel der Zusammenhänge zu verstehen gegeben hast, die nötig wären, um dir inhaltlich zielführend weiterhelfen zu können.

anonymous

18:52 Uhr, 24.01.2025

Naja, dann weiß ich auch nicht weiter. Für mich klingt die Frage, was der Ausdruck δ/δt

x (t)

ergibt ziemlich eindeutig… hat sich nun aber erledigt - mein Prof konnte die Frage innerhalb einer Minute beantworten.

Wen es interessiert: Der Sinn/ die Definition der partiellen Ableitung besteht (im Vergleich zur totalen) genau darin, Ausdrücke wie

x (t)

als „konstant“ zu behandeln,

d . h

. die partielle Ableitung nach

t

ist 0.
Bei der totalen Ableitung wäre es entsprechend x‘(t).

Immer wieder schön, für wie blöd man hier verkauft wird, bei einer wie es sich herausstellte sehr berechtigten Frage. Und da wundert man sich, warum die jungen Generationen den Spaß an der Mathematik verlieren?

LG :-)

HAL9000

17:23 Uhr, 27.01.2025

Vermutlich ist folgendes gemeint: Für die Funktion

f (x, y, t) = x \cdot \ln (\frac{t^{5} y^{3} x}{{[\sin (y) + e^{t}]}^{7}}) + t^{2} y \cos (x)

soll

\frac{d}{d t} (\frac{\partial^{4}}{\partial x \partial t \partial y \partial x} f (x (t), y (t), t))

berechnet werden, wobei die partiellen Ableitungen nach

x, y

bzw.

t

gemeint sind als partielle Ableitungen nach dem ersten, zweiten bzw. dritten Argument der Funktion

f

. (*)

Folgendes Aufsplitten des Logarithmusterms ist hilfreich:

f (x, y, t) = x \cdot \ln (x) + x \cdot \ln (\frac{t^{5} y^{3}}{{[\sin (y) + e^{t}]}^{7}}) + t^{2} y \cos (x)

Dann gilt

\frac{\partial f}{\partial x} = \ln (x) + 1 + \ln (\frac{t^{5} y^{3}}{{[\sin (y) + e^{t}]}^{7}}) - t^{2} y \sin (x)

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial x} = \frac{1}{x} - t^{2} y \cos (x)

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial x \partial y} = - t^{2} \cos (x)

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial x \partial y \partial t} = - 2 t \cos (x)

Abschließend wird

\frac{d}{d t} (- 2 t \cos (x (t))) = - 2 \cos (x (t)) + 2 t \sin (x (t)) \cdot x ´ (t)

berechnet.

> Immer wieder schön, für wie blöd man hier verkauft wird, bei einer wie es sich herausstellte sehr berechtigten Frage.

Wenn du mit deinem Helfer- bzw. Forenbashing fertig bist, dann fass dir auch mal an die eigene Nase: Deck das nächste mal die Karten gleich auf den Tisch statt mit zwei Stunden Verspätung.

P.S.: Ich halte die Schreibweise ohne solche Klarstellungen (*) tatsächlich für unausgegoren und potentiell problematisch: Wenn man z.B. das ganze konkret für

x (t) = t^{2}

berechnen soll, dann kommt was anderes raus als wenn man etwa teilweise das

x (t)

schon einsetzt und dann

\frac{d}{d t} \frac{\partial^{4}}{\partial x \partial t \partial y \partial x} [t^{2} \cdot \ln (\frac{t^{5} y {(t)}^{3} x (t)}{{[\sin (y (t)) + e^{t}]}^{7}}) + t^{2} y (t) \cos (t^{2})]

ausrechnet. Sowas sollte eigentlich nicht passieren bei einer sauber erklärten Symbolik.

Oder ein noch etwas einfacheres Beispiel für die grundsätzliche Missverständlichkeit der Symbolik:

Schreibt man

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

, so ist die naheliegendste Deutung, dass eine Funktion

t \mapsto x (t)

vorliegt und deren Ableitung nach dem ersten (und einzigen) Argument

t

zu berechnen ist, d.h.

\frac{\partial x (t)}{\partial t} = x ´ (t)

.

Meint man hingegen

\frac{\partial x}{\partial t} ∣_{x = x (t)}

, d.h. die Ableitung der zunächst bzgl.

t

als konstant angenommenen Funktion

x

, und diese Ableitung dann aber ausgewertet für

x = x (t)

, dann kommt raus

\frac{\partial x}{\partial t} ∣_{x = x (t)} = 0

.

Genau solche Sachen wie letzteres kommen bei deinem Konstrukt hier tatsächlich auch vor!!!

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