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Polynomdivision: Nullstellen berechnen mit Rest

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Nullstell, Polynomdivision, rest

S1lur aktiv_icon

13:55 Uhr, 13.03.2017

Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
"Bestimmen Sie alle Nullstellen (reell oder komplex) mit Vielfachheiten und
die vollständige Faktorisierung des folgenden Polynoms:

p (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x + 4

".
Ich habe als Nullstelle

x_{0} = 1

gewählt und daraus

p_{1} (x) = (2 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x + 4) : (x - 1) = 2 x^{3} - x^{2} + 8 x - 4

berechnet.
Aus diesem Polynom habe ich dann

p_{2} (x) = 2 x^{2} + x + 9

mit Rest 5 bzw.

+ \frac{5}{x - 1}

berechnet.
Darauf kann ich jedoch nicht wie sonst die PQ-Formel anwenden.

Jetzt meine Frage:

Wie rechne ich allgemein bei Polynomen mit Rest, und speziell auch hier, weiter um die Nullstellen und die vollständige Faktorisierung zu bekommen.
Mit Hilfe diverser Online Rechner(z. B. : www.matheretter.de/formeln/algebra/polynomgleichung , www.matheretter.de/formeln/algebra/polynomdivision , www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm ) habe ich die selben Ergebnisse für

p_{1}

und

p_{2}

bekommen und zudem die Nullstellen:

x_{1} = 1

x_{2} = 0.5

x_{3} = 0 - 2 j

x_{4} = 0 + 2 j

Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

15:46 Uhr, 13.03.2017

Bei der Polynomdivision

(2 x^{3} - x^{2} + 8 x - 4) : (x - \frac{1}{2})

gibt es als Ergebnis

2 x^{2} + 8

x^{2} + 4 = 0

x^{2} = - 4 = 4 i^{2}

x_{1} = 2 i

und

x_{2} = - 2 i

mfG

Atlantik

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15:48 Uhr, 13.03.2017

Wie kommt man auf die Nullstelle

\frac{1}{2}

?
Sonst sind immer ganzzahlige Nullstellen gesucht. Komisch.

ermanus aktiv_icon

16:11 Uhr, 13.03.2017

Also das mit 1/2 wundert mich auch.
Hier eine Idee dazu:
bei

2 x^{3} - x^{2} + 8 x - 4 = 0

stört ja zunächst, dass diese Gleichung nicht normiert ist,
d.h. Störenfried scheint der Faktor

2

vor dem

x^{3}

zu sein.
Wenn man aber durch 2 teilt, bekommt man nicht-ganze Koeffizienten.
Man könnte aber auch das "glatte Gegenteil" tun, nämlich die Gleichung mit
4 multiplizieren:

0 = 8 x^{3} - 4 x^{2} + 32 x - 16 = (2 x)^{3} - (2 x)^{2} + 16 (2 x) - 16

. Nun nennen wir

2 x = : y

,
dann haben wir

0 = y^{3} - y^{2} + 16 y - 16 = y^{2} (y - 1) + 16 (y - 1) = (y^{2} + 16) (y - 1)

.
Also

y^{2} + 16 = 0

oder

y = 1

. Hieraus folgt

y = \pm 4 j

, also

x = \pm 2 j

oder

x = 1 / 2

S1lur aktiv_icon

16:40 Uhr, 13.03.2017

Vielen Dank, wäre alleine nie auf die Idee gekommen zu überprüfen ob

x = 1

auch wirklich eine
Nullstelle des nächsten Polynoms ist.
Nochmal zum allgemeinen, wenn man einen Rest beim berechnen der Nullstellen hat muss es ein Rechenfehler oder eine falsche Nullstelle sein?

MfG

ermanus aktiv_icon

16:43 Uhr, 13.03.2017

Du meinst sicher "

x = \frac{1}{2}

". Deine Interpretation des Nichtverschwindens
eines Restes ist genau richtig :-)

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16:47 Uhr, 13.03.2017

@ermanus:

Super, aber ein Schüler kommt da nie drauf.

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