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Punkt C auf Dreieck berechnen

Schüler Gymnasium,

Tags: 10. Klasse, Dreieck, fehlende Größen, Sinussatz

Lasnik aktiv_icon

20:00 Uhr, 14.09.2020

Ich habe bei einem Dreieck alle Größen gegeben, außer die Punkte. Punkt A und

B

ergeben sich ja durch die Strecke

c

. Nur wie komm ich jetzt auf den fehlenden Punkt

C

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

20:06 Uhr, 14.09.2020

Hallo,

irgendeinen Punkt musst du ja gegeben haben, sonst kann sich das Dreieck ja überall befinden.

Gruß
pivot

Lasnik aktiv_icon

20:07 Uhr, 14.09.2020

Punkt A ist dann theoretisch

(0 | 0)

und Punkt

B

ist (

[

Strecke

c] | 0)

Da es mein eigenes Programm ist, kann

c

immer auf der

x

Achse bleiben ;-)

Atlantik aktiv_icon

21:53 Uhr, 14.09.2020

Kreis um A mit Radius

r = b

schneidet Kreis um

B

mit

r = a

im gesuchten Punkt C.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

08:23 Uhr, 15.09.2020

Noch ein Weg:

y = tan (α) \cdot x

Punkt

C

ist nun der Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis um

A (0 | 0)

mit

r = b

x^{2} + y^{2} = b^{2}

x^{2} + {[tan (α) \cdot x]}^{2} = b^{2}

x^{2} + {tan}^{2} (α) \cdot x^{2} = b^{2}

x^{2} \cdot [1 + {tan}^{2} (α)] = b^{2}

x^{2} = \frac{b^{2}}{1 + {tan}^{2} (α)}

x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{1 + {tan}^{2} (α)}} = \pm \frac{b}{\sqrt{1 + {tan}^{2} (α)}} \to y_{1,2} = \pm \frac{b \cdot tan (α)}{\sqrt{1 + {tan}^{2} (α)}}

Wobei die -Wurzel nicht benötigt wird.

mfG

Atlantik

->Es gibt noch mehr Wege. Wie könnten diese gehen?

Roman-22

14:58 Uhr, 15.09.2020

Du solltest wissen, dass für die Angabe eines Dreiecks

i . A

. drei Bestimmungsstücke reichen. Wenn du von deinem Drieck also "alles" kennst, hast du eine große Auswahl, von welchen Größen du die Koordinaten von

C

abhängig machen möchtest.

Atlantik hat gezeigt, wie du die Koordinaten von

C

in Abhängigkeit von

b

und

α

allein ausdrücken kannst. Nimmst du noch

β

dazu, so kannst du auch schreiben

x_{C} = \frac{c \cdot tan β}{1 + tan β}

und

y_{C} = x_{C} \cdot tan α

Wählst du als Eingabegrößen die drei Seitenlängen, so kommst du auf

x_{C} = \frac{1}{2 c} \cdot (c^{2} + b^{2} - a^{2})

y_{C} = \frac{1}{2 c} \cdot \sqrt{2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 a^{2} c^{2} - a^{4} - b^{4} - c^{4}}

Mithilfe des Flächeninhalts A lässt sich auch einfach

y_{C} = \frac{2 A}{c}

schreiben und wenn du an die Heron'sche Flächenformel denkst, fällt dir sicher auch eine einprägsame Schreibweise mithilfe des Halbumfangs

s

sein.

usw....

Lasnik aktiv_icon

19:56 Uhr, 16.09.2020

Danke! Die Herangehensweise es mit den Strecken zu berechnen hat für mich super geklappt.
Und es war kein Problem es zu integrieren!

abakus

20:54 Uhr, 16.09.2020

"Ich habe bei einem Dreieck alle Größen gegeben"

Nein, das hast du nicht. Wenn ich mir deine Abbildung ansehe, hast du (vermutlich) zwei Winkel gegeben, aus denen sich der dritte richtig ergibt, und du hast die Länge von c gegeben.
Daraus ergeben sich mehr oder weniger schlechte Näherungswerte für a und b.

Wenn du hingegen a und b und noch einen Winkel als gegeben annimmst, wirst du für die übrigen drei Größen Näherungswerte erhalten, die nur ungefähr den jetzigen Werten entsprechen.

Lasnik aktiv_icon

21:03 Uhr, 16.09.2020

Das stimmt schon. Aber da ich in der 10ten Klasse bin und es darum geht die Trigonometrie zu verstehen ist das nicht sehr wichtig.
Und außerdem rechne ich in meinem Programm mit double Werten

(14 - 16

Stellen), lasse mir allerdings nur auf 2 Nachkommastellen die Werte anzeigen. Sie existieren aber auch weniger gerundet (mit 7 Stellen als float).

Letztendlich ging es für mich um den proof of concept.

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