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Rechtwinkliges Dreieck Inkreis Radius Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Dreieck, Geometrie, Inkreis

hannah92 aktiv_icon

16:26 Uhr, 13.09.2016

Hey,

kann mir wer erklären oder veranschaulichen

WARUM diese Formel

\frac{a + b - c}{2}

die Formel für den Inkreisradius in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Werner-Salomon aktiv_icon

17:00 Uhr, 13.09.2016

Hallo Hannah,

das ist nicht die Formel für den Inkreisradius. Sie kann es auch gar nicht sein, da man die Seiten

a

b

und

c

zyklisch vertauschen kann ohne dass sich das Dreieck verändert. Mit dieser Formel würdest Du dann unterschiedliche Ergebnisse für ein und das selbe Dreieck bekommen!

Eine Formel für den Inkreisradius lautet:

r = \frac{2 A}{a + b + c}

und

A

ist dabei die Fläche des Dreiecks.

möchtest Du diese Formel erklärt haben?

Gruß
Werner

Apilex aktiv_icon

17:11 Uhr, 13.09.2016

Unter der Vorrausetzung das

c

die hypothenuse des rechtwinklichen Dreiecks ist stimmt die Formel

r = \frac{a + b - c}{2}

da gilt:

A = a \cdot \frac{b}{2}

folgt

\frac{a + b - c}{2} = 2 \cdot \frac{A}{a + b + c}

(a + b - c) \cdot (a + b + c) = 4 \cdot (a \cdot \frac{b}{2})

a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} - c^{2} = 2 a \cdot b

a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot a \cdot b

2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot a \cdot b |

satz des Pyth

Die Formel gilt aber nur für Rechtwinkliche Dreiecke und ist die spezialisierung von der angegebenen Formel

\frac{2 \cdot A}{a + b + c}

Werner-Salomon aktiv_icon

17:48 Uhr, 13.09.2016

Zugegeben - das 'rechtwinklig' hatte ich großzügig überlesen.

Es gibt übrigens noch eine - wie ich meine - einfachere Herleitung.
Ich bezeichne dazu den Berührpunkt des Inkreises mit der Seite

c

mit

F b

und die Strecke

A F b

mit

x

(s. angehängte Skizze). Das verbleibende Stück von

F b

bis B hat dann die Länge

c - x

. Auf Grund des rechten Winkels in C haben die Strecken von C bis zu den Berührpunkten des Inkreises jeweils die Länge

r

.

Wegen der Symmetrie bei den Drachenvierecken kann man dann zwei Gleichungen aufstellen

a = r + (c - x)

b = r + x

die zweite nach

x

auflösen

x = b - r

und in die erste einsetzen ergibt:

a = r + c - b + r

nach

r

auflösen:

r = \frac{1}{2} (a + b - c)

.. und das ganze hatten wir schon: www.onlinemathe.de/forum/Inkreis-Radius-Beweis

Gruß
Werner

hannah92 aktiv_icon

18:01 Uhr, 13.09.2016

hey vielen Dank ihr zwei :-)

habs verstanden! @Werner du hast in deiner Skizze den Eckpunkt

B

mit

C

vertauscht :-P)

LG

Werner-Salomon aktiv_icon

21:04 Uhr, 13.09.2016

Hallo Hannah,

Ja stimmt - B und C sind in der Skizze oben vertauscht.

Meine Rechnerei oben ist auch noch zu viel. Schau Dir mal die Skizze an, die ich jetzt angehängt habe. Die beiden roten Strecken und die beiden grünen sind jeweils gleich lang. Summiert man die Seiten

a

und

b

und zieht die Summe aus roter und grüner Strecke (also

c

) ab, so bleibt

2 r

über.
man kann ergo direkt aus der Zeichnung heraus lesen:

a + b - c = 2 r

Gruß
Werner

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