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Schnittpunkt zweier ganzrationaler Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ganzrationale Funktionen, Polynome, Schnittpunkt

Leine aktiv_icon

17:16 Uhr, 27.01.2009

Hallo zusammen,

Ich hab folgendes Problem:
Es geht um den Schnittpunkt oder die Schnittpunkte von zwei ganzrationalen Funktionen

f_{1}

: y=

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

\frac{1}{10}

f_{2}

: y= 2

x^{3}

\frac{3}{10}

x^{2}

ich dachte zuerst: is ja ganz einfach.. gleichsetzen und ausrechnen..ABER es hat sich doch schwieriger dargestellt als ich anfangs gedacht hab.

Zunächst hab ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt und umgestellt.

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

\frac{1}{10}

x = 2

x^{3}

\frac{3}{10}

x^{2}

∣

\div

x^{3}

\frac{3}{10}

x^{2}

\frac{x^{5} + \frac{21}{20} x^{4} + \frac{1}{10} x}{2 x^{3} + \frac{3}{10} x^{2}}

= 0

und jetzt beginnt mein Problem.. wie geht das weiter? oder hab ich ganz flasch angesetzt?

Gruß
Fabian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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Skandalnudel aktiv_icon

17:35 Uhr, 27.01.2009

Ich will das jezt nciht alles abtippen, aber du kannst mit dem Nenner multiplizieren, dann fällt der weg. Das darfst du machen, weil dir da durch keine "Nullstelle" (bzw schnittpunkt) verloren geht, da der Nenner so wie so nichit null sein darf.

Dann hast du ncoh stehen:

x^{5} + \frac{21}{10} x^{4} + \frac{1}{10} x = 0

Du kannst

x

ausklammern

x \cdot (x^{4} + \frac{21}{10} x^{3} + \frac{1}{10}) = 0

\Rightarrow x_{1} = 0

x^{4} + \frac{21}{10} x^{3} + \frac{1}{10} = 0

Jetzt kennst du eine Nullstelle, jetzt kannst du polynomdivision machen...

EDIT: ich habe das grad versucht und festgestellt, dass man mit polynomdivision nicht allzu weit kommt, aber bis dahin stimmt das, also auch

x_{1} = 0

Leine aktiv_icon

17:54 Uhr, 27.01.2009

danke für die schnelle antwort
aber ich versteh deinen gedankengang nicht. Ich hab ja 2 funktionen die ich gleich setze, um den schnittpunkt herauszubekommen. und wenn ich doch mit dem nenner multipliziere, dann steht der doch wieder auf der anderen Seite der Gleichung.

mal ne doofe Frage, aber kann ich nich auch "einfach" die beiden Funktionen gleichsetzen und dann so umformen dass dann

F_{1}

F_{2}

= 0
steht...

Skandalnudel aktiv_icon

19:19 Uhr, 27.01.2009

oO mir fällt grad was auf... du hast einen fehler gemacht.

du hast durch die rechte seite geteilt, aber dann steht da nicht

0,

sonder 1.

\frac{x}{x} = 1

\Rightarrow

mein Ansatz ist falsch, da ich deinen nicht überprüft habe...

: (

tut mir leid!

aber

f_{1} - f_{2} = 0

kannst du natürlihc machen, ganz normale äquivalenzumformung.

Ich habe das jetzt bei dir mal gemacht und mit

10

multipliziert um die brüche wegzubekommen.

10 \cdot x^{5} + 21 \cdot x^{4} - 20 \cdot x^{3} - 3 x^{2} + x = 0

nun kannst du wieder

x

ausklammern

\Rightarrow x_{1} = 0

10 x^{4} + 21 x^{3} - 20 x^{2} - 3 x + 1 = 0

Wie man jetzt auf den zweiten Schnittpunkt kommt, weiß ich grad nciht... polynomdivison hilft da irgendwie nicht weiter...

Astor aktiv_icon

19:28 Uhr, 27.01.2009

Hallo, wenn ich die Gleichungen richtig abschreibe und mit 20 multipliziere, dann erhalte ich:

20 x^{5} + 21 x^{4} - 40 x^{3} - 6 x^{2} + x = 0

x (20 x^{4} + 21 x^{3} - 40 x^{2} - 6 x + 1) = 0

x = 0

; Die Klammer hat keine rationale Nullstelle.
Sind die Ausgangsdaten richtig?
Gruß Astor

Leine aktiv_icon

19:28 Uhr, 27.01.2009

vielen dank..

ich such nochmal ein bisschen im netz
und wenn ich's weiß, dann sag ich es^^

Skandalnudel aktiv_icon

19:38 Uhr, 27.01.2009

lol falsch abgeschrieben... ich sepp...

Leine aktiv_icon

22:22 Uhr, 27.01.2009

sry.. ein falscher Nenner

f_{1}

: y=

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

\frac{1}{10}

f_{2}

: y= 2

x^{3}

\frac{3}{20}

x^{2}

so heißt es...

dann steht da..

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

\frac{1}{10}

x = 2

x^{3}

\frac{3}{20}

x^{2}

∣

- (2

x^{3}

\frac{3}{20}

x^{2}

)

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

\frac{1}{10}

x - 2

x^{3}

\frac{3}{20}

x^{2}

= 0

x^{5}

\frac{21}{20}

x^{4}

- 2

x^{3}

\frac{3}{20}

x^{2}

\frac{1}{10}

x = 0

∣

\cdot

20
20

x^{5}

+ 21

x^{4}

- 40

x^{3}

- 3

x^{2}

+ 2x = 0

∣

T_{1}

\cdot

T_{2}

= 0
x

\cdot

(20

x^{4}

+ 21

x^{3}

- 40

x^{2}

- 3x + 2) = 0

\Rightarrow

x_{1}

= 0

und weiter? einfach Polynomdivision. aber dann bekomm ich doch die nullstelle nraus und nicht de nschnittpunkt, oder vertu ich mich jetzt da?

anonymous

10:32 Uhr, 28.01.2009

hi leute
die nullstellen wollt ihr doch wissen, die sind die x-werte der schnittpunkte
probiert doch mal

x = - 1

das geht einfach zu rechnen
dann polynomdivision mit(x+1) gibt

20 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2

hier mit

x = - \frac{2}{3}

probieren
auch regula falsi müsste funtionieren
gruß

⊙ k .

munichbb

11:19 Uhr, 28.01.2009

Hi,

ich habe 5 Schnittpunkte

\to (0 | 0); (- 1,9734 | - 14,2023); (- 0,2903 | - 0,0236); (\frac{1}{6} | 0,0176); (1,0469 | 2,6238);

Gruß
munichbb

Leine aktiv_icon

14:27 Uhr, 28.01.2009

ist es denn wirklich das gleiche, mit der Polynomdivision.
ich will ja die Schnittpunkte herausfinden und nicht die Nullstellen. Oder geht das damit auch?

Edddi aktiv_icon

14:40 Uhr, 28.01.2009

...wenn du

z . B

. die Gleichung

4 = x^{2} + x

lösen sollst, ist das ja auch ein Gleichsetzen der Funktionen

y = 4

und

y = x^{2} + x

Die Berechnung der Schnittpunkte über

4 = x^{2} + x \to 0 = x^{2} + x - 4

erfolgt über die Nullstellenberechnung.

Grafisch kannst du dir das so vorstellen:

y = 4

ist eine Gerade parallel zur X-Achse

y = x^{2} + x

ist eine Normalparabel welche um

- \frac{1}{2}

auf der X-Achse und um

- \frac{1}{4}

auf der Y-Achse verschoben ist.

Wenn du nun beide Funktionen um

- 4

auf der Y-Achse verschiebst, liegt die Funktion

y = 4

auf der X-Achse, da nach Verschiebung

y = 4 - 4 = 0

und die Funktion

y = x^{2} + x

wird zu

y = x^{2} + x - 4

Die X-Werte der Schnittpunkte bleiben bei der Verschiebung unverändert und man kann schreiben:

4 - 4 = x^{2} + x - 4

0 = x^{2} + x - 4

Also die Nullstellenberechnung einer Funktion

f (x)

ist das Gleiche wie die Schnittpunkt-Berechnung von

f (x)

mit der Funktion

y = 0

:-)

Leine aktiv_icon

14:42 Uhr, 28.01.2009

danke...
is mir jetzt auch wieder mehr oder weniger eingefallen...
bei so vielen zahlen sieht man den wald vor lauter bäumen nicht
danke:-)

anonymous

12:44 Uhr, 30.01.2009

@ munich

ich habe eine frage an dich und würde mich über eine antwort freuen.
auf weche art und weise hast du die fünf schnittpunkte errechnet?

mit freundlichem gruß

⊙ k

Edddi aktiv_icon

13:14 Uhr, 30.01.2009

...hallo old knut...

Die 0 als Nullstelle ist klar.

Jetzt sind noch die 4 Lösungen der Gleichung 4. Grades zu ermitteln.

1. Verfahren:
- mittels grafischer Software die Kurve zeichnen und die Nullstellen ausgeben lassen.
( Hi, hi

. .

. schön einfach und manchmal genauer, als wenn mans selber rechnet)

2. Verfahren:
- mittels Probieren sich an eine Nullstelle ranarbeiten - ausklammern - und dann nur noch kubische Gleichung lösen...

3. Verfahren
- Gucken, ob ein Sonderfall wie biquadr. oder symmetrische Gleichung vorliegt.
- wenn nicht, bleibt dir nur das Verfahren von Ferrari... hier wird ein Haufen substituiert - dann erhält man qubische Gleichung - für diese mittels cardanische Formeln die Lösungen ermitteln....und dann alles wieder schön zurücksubstituieren...

...ist aber nicht erstrebenswert...besser das 1. Verfahren anwenden!

Gruß Edddi

:-)

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