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Sinusfunktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Kosinusfunktion, Sinusfunktion

 
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dieterbohlenhh

dieterbohlenhh aktiv_icon

20:49 Uhr, 28.11.2012

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Aufgabe 1)

Eine Funktion f besitzt die Funktionsgleichung f(x)=2⋅sin (-3x-PI)+3

a) Geben Sie den Definitionsbereich sowie den Wertebereich an und bestimmen Sie die Periodenlänge.

D (Definitionsbereich) = IR
W (Wertebereich) =[1;5]
P (Periodenlänge) =-2,094

Wie errechnet sich was?

W (Wertebereich) =W[d-a;d+a]d=3,a=2
P (Periodenlänge) =[2 PI /b]b=-3

d wird als Mittelstellung bezeichnet
a wird als Amplitude bezeichnet
b wird als Frequenz bezeichnet

b) Nehmen Sie Stellung zur Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung =c⋅=cb in meinem Beispiel -PI/-3 =13 PI >0 beginnt sich früher zu verschieben. (Bei negativen Werten die kleiner als 0 sind später)

c) Ermitteln Sie die ersten drei Ableitungen von f.

(Hier muss ich die Kettenregel anwenden)

f(x)=2⋅sin (-3x-PI)+3
f´(x) =2⋅cos (-3x-PI) (⋅-3)
f´(x) =-6⋅cos (-3x-PI)
f´´(x) =+6⋅sin (-3x-PI) (⋅-3)
f´´(x) =-18⋅sin (-3x-PI)
f´´´(x) =-18⋅cos (-3x-PI) (⋅-3)
f´´´(x) =54⋅cos (-3x-PI)

d) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.

Bed: f(x)=0, also
0=2⋅sin (-3x-PI)+3 |-3
-3=2⋅sin (-3x-PI) |:2
-1,5=sin (-3x-PI) |sin hoch -1
-0,99 → Mein Nachhilfelehrer sagt, dass es hier keine Nullstellen gibt, warum nicht?








e) Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von f die Parallele zur Abszissenachse in Höhe der Mittelstellung von f schneidet („Mittelstellungsstellen“)

(Hier muss ich die Funktionen gleichsetzen)

Habe aber leider keine Ahnung wie ich das machen soll.

f) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte von f.

g) Zeichnen Sie den Graphen in eine Koordinatensystem.


Aufgabe 2)

An einem schönen Sommertag in Hamburg wird um 13.00 Uhr mit 28 Grad C die Tageshöchsttemperatur erreicht. Am kühlsten war es mit 8 Grad C am frühen Morgen dieses Tages. Eine Funktion f modelliert die Temperatur an den 24 Stunden dieses Tages in Abhängigkeit von der Zeit t(∈ Stunden nach Mitternacht). Geben Sie die Funktionsgleichung von f der Form
f(t)=a⋅sin (bt +c)+d an.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
KalleMarx

KalleMarx aktiv_icon

23:12 Uhr, 28.11.2012

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Moin dieter!

Zwei Dinge zu Schreibweisen:
Die Kreiszahl π schreibt sich in TeX-Mathemodus \pi mit einem kleinen p.
Schreibe für die Menge der Reellen Zahlen bitte ℝ und nicht IR. Der korrekte TeX-Code ist \mathbb{R}.

Zu Aufgabe 1

Aufgabenteil a) hast Du in etwa richtig gelöst.
Nur die Periodenlänge stimmt nicht, da sie ungenau (gerundet) ist. Es ist P=23π. Negative Periodenlängen machen keinen Sinn, da es ein Abstand ist. Also immer den Betrag nehmen.

Zur Phasenverschiebung schreibst Du in Aufgabenteil b):
"beginnt sich früher zu verschieben. (Bei negativen Werten die kleiner als 0 sind später)"
Erstmal zum Zusatz in der Klammer: Alle negativen Werte sind kleiner als Null.
Ansonsten: Die Aussage "beginnt sich früher zu verschieben" ist Unfug. Eine Phasenverschiebung gibt an, ob und in welche Richtung der Graph in Abszissenrichtung verschoben wird. Bei einem positiven Wert für c wird der Graph um den Betrag von c in negative x-Richtung verschoben (bei c<0 in positive x-Richtung). Da wird nichts früher oder später verschoben.

Zu c)
Deine Ableitungen sind soweit richtig.
Allerdings darf man nicht (⋅-3) schreiben, wie Du es in den ersten Zeilen der Ableitungen immer tust. Es muss f´(x)=2⋅cos(-3x-π)⋅(-3) lauten, da zwei Rechenzeichen nicht ohne trennende Klammer aufeinandertreffen dürfen.

Zu d)
Wie kommst Du denn auf sin-1(-1,5)=-0,99? Da hast Du Deinen Taschenrechner falsch eingestellt. Sowohl sinus als auch cosinus nehmen nur Funktionswerte zwischen -1 und 1 an. Da -1,5 offensichtlich kleiner als -1 ist, ist sin-1(-1,5) nicht definiert. Also gibt es keine Nullstellen.

Grundsätzlich: Bedenke, daß AchsenschnittPUNKTE gefragt sind. Solltest Du also (mit einer anderen Funktion) bspw. die Nullstelle xN=2 herausbekommen, ist der zugehörige Achsenschnittpunkt N(1;0) und wenn man den nicht angibt, gibt es nicht die volle Punktzahl.

Neben den Schnittpunkten mit der Abszissenachse ist natürlich auch noch der Schnittpunkt mit der Ordinatenachse zu bestimmen. Den hast Du komplett weggelassen.

Zu e)
Du: "Hier muss ich die Funktionen gleichsetzen"
Plural? Du hast nur eine Funktion. War wohl ein Schreibfehler?
Du: "Habe aber leider keine Ahnung wie ich das machen soll."
??? Eine Zeile darüber hast Du doch geschrieben, was Du machen sollst. Vielleicht war der Plural doch kein Versehen ...
Du setzt die Funktionsgleichung mit der Mittelstellung gleich und löst nach x auf.

Was ist mit den Aufgabenteilen f) und g)?

Gruß - Kalle.
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