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Stammfunktion - "Kettenregel"

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kettenregel, Stammfunktion

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15:05 Uhr, 30.12.2009

Hallo Leute, habe mal wieder ein Knoten im Hirn und deswegen eine Frage und zwar:

f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1 \Rightarrow

Stammfukntion

= \frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3} + x

Ich könnte es aber auch mit der Kettenregel hochleiten, dann hätte ich:

Stammfunktion:

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 x} {(x^{2} - 1)}^{3}

Wenn ich das abeleite stimmt es ja.

Das Problem ist nun, wenn ich es ausrechne, dann kommen nicht diese

\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3} + x

raus.

Was mache ich falsch?

Danke schonmal, vllt hab ich auch nur einen Rechenfehler drin, aber bin das jetzt mehrmals durch und weiß nicht mehr weiter...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

sarose

15:11 Uhr, 30.12.2009

Hier stand Blödsinn.

lustiges-lieschen aktiv_icon

15:16 Uhr, 30.12.2009

Es gibt beim Integrieren keine Kettenregel!

Wenn du dein mit der "Kettenregel" integriertes Ergebnis ableitest kommt auch nicht die ursprüngliche Funktion raus, weil du die Produktregel anwenden musst!

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16:05 Uhr, 30.12.2009

Wie macht man es dann? Integrieren durch Subtitution?

lustiges-lieschen aktiv_icon

16:09 Uhr, 30.12.2009

Ja genau, entweder durch Substitution, oder durch Ausmultiplizieren, so wie du es zuerst gemacht hast!

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14:51 Uhr, 31.12.2009

Ich habe jetzt zB. die Funktion

\frac{3}{{(2 x - 5)}^{2}}

.

Wie würde ich das denn machen? Da bringt das ausrechnen jetzt nichts und eine gescheite substitution, sehe ich da nicht.

pleindespoir aktiv_icon

15:28 Uhr, 31.12.2009

\int (x^{2} - 1)^{2} d x

z = x^{2} - 1

\frac{d z}{d x} = 2 x

d x = \frac{d z}{2 x}

z + 1 = x^{2}

x = \pm \sqrt{z + 1}

\int (z)^{2} \cdot \frac{d z}{2 x}

½ \int (z)^{2} \cdot \frac{d z}{x}

½ \int (z)^{2} \cdot \frac{d z}{\pm \sqrt{z + 1}}

\pm ½ \int \frac{z^{2}}{\sqrt{z + 1}} d z

... finde nicht, dass das irgendwie sinnvoll zu einem Ergebnis führt ...

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17:53 Uhr, 02.01.2010

Das war auch mein Problem... hab es jetzt einfach durch Substitution gemacht und es kommt das richtige raus aber verstehe leider immernoch nicht, wieso das nicht so geht...

Edit: Ja war auch nicht bei der Aufgabe gemeint mit der Substitution.

pleindespoir aktiv_icon

03:42 Uhr, 03.01.2010

Wenn Du jetzt bitte noch erläutern würdest, welche Aufgabe Du meinst , wenn nicht die gepostete und wie du was gelöst haben willst, was sich unseren Blicken zu entziehen scheint ...

... Chaos pur

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11:51 Uhr, 03.01.2010

Ich meinte jetzt generell, aber passt schon, ich weiß jetzt keine Kettenregel bei Stammfunktionen.

Goone aktiv_icon

17:30 Uhr, 03.01.2010

Nochmal kurz, ich wollte fragen, wie man denn das hier integrieren würde?

\frac{1}{x - 1}

Also ganz generell halt, man könnte es ja als

{(x - 1)}^{- 1}

aber das bringt ja nichts.

ermanus aktiv_icon

23:04 Uhr, 03.01.2010

Eine Stammfkt. zu

\frac{1}{x}

ist

ln x .

Also substituieren

z = x - 1, d . h

\frac{d z}{d x} = 1

und somit

\int \frac{1}{x - 1} \cdot d x = \int \frac{1}{z} \cdot d z = ln z + C = ln (x - 1) + C .

Gruß
Hermann

Goone aktiv_icon

00:06 Uhr, 04.01.2010

Sprich, wenn da

\frac{1}{x^{2} - x}

stehen würde, würde es nicht gehen oder?

NEPH1L1M aktiv_icon

00:40 Uhr, 04.01.2010

Hallo Turbolader,

was meinst du mit "..würde es nicht gehen?"

Ich würde zunächst umformen:

$\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x \times (x - 1)} = \frac{1}{x} \times \frac{1}{x - 1}$

Lg NEPHI

ermanus aktiv_icon

11:47 Uhr, 04.01.2010

Hallo,

ich würde

\frac{1}{x \cdot (x - 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}

ausnutzen (Partialbruchzerlegung).

Gruß Hermann

Goone aktiv_icon

11:47 Uhr, 04.01.2010

Ich meine damit, dass man keine Integration vornehmen kann.

Jetzt genau bei der Aufgabe müsste man dann noch eine Substitution machen oder?

Aber wenn wir mal eine Aufgabe haben, wo sich das

x

nicht weqkürzt, beispielsweise:

\int \frac{1}{x^{2} - 3} d x

z = x^{2} - 3

z' = 2 x

d x = \frac{d z}{2 x}

\int \frac{1}{z \cdot 2 x}

Würde man dann:

z = x^{2} - 3 \Rightarrow x = \sqrt{z + 3}

\int \frac{1}{z \cdot \sqrt{z + 3}}

Das würde zwar sicherlich niemals so vorkommen, aber so würde man es machen oder? Dann bräuchte man halt noch eine Substitution.

ermanus aktiv_icon

11:52 Uhr, 04.01.2010

Hallo, ich nochmal:

\frac{1}{x^{2} - 3} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{3}} - \frac{1}{x + \sqrt{3}}) .

Damit kann man doch wunderbar integrieren !

Gruß Hermann

Goone aktiv_icon

14:27 Uhr, 04.01.2010

Ok, ich sehs ein, danke :-D)

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