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Stammfunktion einer e Funktion

Schüler Berufsschulen, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Stammfunktion

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Korpos

Korpos aktiv_icon

15:30 Uhr, 13.05.2014

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hey ich habe folgende Funktion:

\frac{e^{x} - 2}{e^{x} + 1}

Und soll Beweisen das dies die Stammfuntion ist

F (x) = 3 \cdot ln (e^{x} + 1) - 2 x

ich habe mal mit der polynomdivison angefangen

\frac{e^{x} - 2}{e^{x} + 1} = 1 - \frac{3}{e^{x} + 1}

\int 1 d x - 3 \int \frac{1}{e^{x} + 1} d x

und wenn ich dies aufleiten würde kämme ja das dabei heraus:

F (x) = x - 3 \cdot ln (e^{x} + 1)

Kann mir einer sagen was ich falsch machen bzw was ich nicht beachte ?

⋆ \cdot

ok habe grade gemerkt das meine eine Stammfunktion falsch ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

15:43 Uhr, 13.05.2014

Antworten

. .

. leite doch einfach die Stammfunktion ab!

;-)

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:45 Uhr, 13.05.2014

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Das stimmt nicht:

\int \frac{1}{e^{x} + 1} d x = \ln (e^{x} + 1) + C

.

Du kannst es selber sehen, wenn Du

\ln (e^{x} + 1) + C

ableiten würdest:

(\ln (e^{x} + 1) + C)^{'} = e^{x} \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}

(nach der Kettenregel:
http//de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel).

Bei der Berechnung von

\int \frac{1}{e^{x} + 1} d x

muss man etwas mehr machen, das geht z.B. so:

\int \frac{1}{e^{x} + 1} d x =

{Substitution

e^{x} = z = > x = \ln z = > d x = d z / z

}

= \int \frac{1}{z + 1} \frac{1}{z} d z = \int (\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1}) d z =

= \ln (z) - \ln (z + 1) + C = \ln (e^{x}) - \ln (e^{x} + 1) + C = x - \ln (e^{x} + 1) + C

.

Korpos

Korpos aktiv_icon

15:54 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Danke schonmal :-)
@ Dr Boogie, ich versteh nicht ganz wie du darauf kommst:

"

\int \frac{1}{z + 1} \frac{1}{z} d z = \int (\frac{1}{z}

−

\frac{1}{z + 1}) d z

"

\int \frac{1}{z + 1} \frac{1}{z} d z

das ist doch ein "mal" woher kommt das "Minus" hier her ?

\int (\frac{1}{z}

−

\frac{1}{z + 1}) d z

Korpos

Korpos aktiv_icon

15:58 Uhr, 13.05.2014

Antworten

oder muss ich mir das so vorstellen:

\int \frac{1}{z + 1} d z - \int \frac{1}{z} d z

dann versteh ich aber nicht warum sie die beiden Brüche einfach drehen.

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

16:19 Uhr, 13.05.2014

Antworten

"
Und soll Beweisen das dies die Stammfuntion ist

F (x) = 3 \cdot ln (e^{x} + 1) - 2 x

"

\to

da hat dir doch Edddi den besseren Vorschlag gemacht
siehe:

\to

"... leite doch einfach die Stammfunktion ab!"

denn um zu beweisen, dass

F (x)

eine Stammfunktion ist, brauchst du
doch bloss zeigen, dass die Ableitung von

F (x)

mit dem Integranden

\to

f (x) = \frac{e^{x} - 2}{e^{x} + 1}

übereinstimmt .. fertig.

bringe dazu dann einfach noch

\frac{3 e^{x}}{e^{x} + 1} - 2

auf den Hauptnenner

(e^{x} + 1)

ok?

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:34 Uhr, 13.05.2014

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Es ist ein alter nützlicher Trick:

\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{z + 1}{z (z + 1)} - \frac{z}{(z + 1) z} = \frac{z + 1 - z}{z (z + 1)} = \frac{1}{z (z + 1)} = \frac{1}{z + 1} \cdot \frac{1}{z}

So was wird beim Integrieren immer wieder benutzt.

Korpos

Korpos aktiv_icon

16:36 Uhr, 13.05.2014

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stimmt, aber mit dem Ableiten hab ich eigentlich weniger Probleme, deswegen würde mit das Prinzip vom aufleiten mehr interessieren.

Korpos

Korpos aktiv_icon

16:48 Uhr, 13.05.2014

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@ DrBoogie. Das ist ja mal ein gewöhnungsbedürftiger Trick, naja ich werde es mir merken :-D)
Vielen dank euch allen :-)

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