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Stammfunktion mit Formansatz-Problem m. Ausklammer

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Ausklammern, Formansatz, Funktion, Stammfunktion

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Eria99

Eria99 aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.05.2022

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Hallo zusammen,

ich befinde mich in der Vorbereitung für mein Abitur, und bin in Mathe leider nicht so gut. Ich bearbeite zZ eine Aufgabe, bei der es darum geht die Stammfunktion mit einem Formansatz zu bilden und die Koeffizienten zu vergleichen. Obwohl ich die Lösung habe, weiß ich aber beim besten Willen nicht, wie das Ausklammern hier funktioniert.

Folgende Aufgabe:

Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes

F (x) = (a

⋅

x + b)

⋅ e^1−1/4

x

eine Stammfunktion der Funktion

f

.

[

zurKontrolle:F(x)=(−3⋅x−12)⋅e^1-1/4x ]

die Ausgangsfunktion lautet

f (x) = \frac{3}{4}

⋅x⋅e^1−

\frac{1}{4} x

Ich habe nun mit Hilfe der Produkt- & Kettenregel folgendes errechnet:
F'(x)=a⋅e^1-1/4x +(a⋅x+b)⋅e^1-1/4x ⋅(-1/4)

- - - - - -

Also das

e

ist hoch

1 - \frac{1}{4} x

das ist laut Lösung auch richtig. Im nächsten Schritt wird in der Lösung nun irgendwas mit dem

(- \frac{1}{4})

gemacht, was ich nicht verstehe und ich schäme mich jetzt schon da es wahrscheinlich Stoff aus der 8. Klasse ist... folgendes wird in der Lösung gemacht:

F'(x)=a⋅e^1-1/4x +(a⋅x+b)⋅e^1-1/4x ⋅(-1/4)

= a

⋅

e^{1} - \frac{1}{4} x

-(1/4⋅a⋅x+

\frac{1}{4}

⋅b) ⋅

e^{1} - \frac{1}{4} x

ob mir das wohl jemand hier erklären könnte was hier gemacht wurde und ob es vllt dafür eine Regel gibt?

Vielen Dank im Vorraus,

eure Eria

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen

Einführung Funktionen
Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)

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Respon

19:46 Uhr, 15.05.2022

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Die Formatierung deine Textes ist wirklich sehr "gewöhnungsbedürftig".

\int \frac{3}{4} \cdot x \cdot e^{1 - \frac{x}{4}}

dx=???
Ansatz:

\int \frac{3}{4} \cdot x \cdot e^{1 - \frac{x}{4}} d x = (a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{x}{4}}

{[(a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{x}{4}}]}^{'} = a \cdot e^{1 - \frac{x}{4}} + (a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{x}{4}} \cdot (- \frac{1}{4}) =

= e^{1 - \frac{x}{4}} \cdot [a + (a \cdot x + b) \cdot (- \frac{1}{4})] = e^{1 - \frac{x}{4}} \cdot [a - \frac{a}{4} \cdot x - \frac{b}{4}]

Koeffizientenvergleich mit dem Integranden:

- \frac{a}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow a = - 3

a - \frac{b}{4} = 0

- 3 - \frac{b}{4} = 0 \Rightarrow b = - 12

Antwort

Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:53 Uhr, 15.05.2022

Antworten

Also, wenn der Formansatz gegeben ist,

musst Du den ableiten und dann gucken, also los:

((a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x})'

= (a \cdot x + b)' \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (a \cdot x + b) \cdot (e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x})'

(Produktregel)

= a \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} \cdot (1 - \frac{1}{4} \cdot x)'

(Kettenregel für die e-Funktion)

= a \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} \cdot (- \frac{1}{4})

(zusammenfassen)

= (- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x + a - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}

.

Es muss nun

- \frac{1}{4} \cdot a = \frac{3}{4}

und

a - \frac{1}{4} \cdot b = 0

gelten.

Die erste Gleichung liefert

a = - 3

und

das mit der zweiten dann

b = - 12

.

Das Zusammenfassen nochmal gaaanz mikroschrittig:

a \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (a \cdot x + b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} \cdot (- \frac{1}{4})

= a \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (- \frac{1}{4} \cdot (a \cdot x + b)) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}

= a \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x} + (- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}

= (a + (- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x - \frac{1}{4} \cdot b)) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}

= (- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x + a - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}

.

Wenn Du da die Nerven verlierst, hilft vielleicht das:

Schreib irgendwas für

e^{1 - \frac{1}{4} \cdot x}, z . B

.

T

und zupf dann

(- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x + a - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot T

auseinander,

(- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x + a - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot T = a \cdot T + (- \frac{1}{4} \cdot a \cdot x - \frac{1}{4} \cdot b) \cdot T = a \cdot T - \frac{1}{4} \cdot (a \cdot x + b) \cdot T

.

Distributivgesetz und Ausklammern also

und oben haben wir das andersrum gemacht...

Frage beantwortet

Eria99

Eria99 aktiv_icon

22:01 Uhr, 15.05.2022

Antworten

Vielen lieben Dank an Ulf Silbenblitz!! Deine Antwort ist super und hat mir sehr geholfen.

Antwort

Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

22:19 Uhr, 15.05.2022

Antworten

Bedanke Dich bitte auch bei Respon -
sie hat es sicher gut gemeint !

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