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Stammfunktion von abschnittsweise def. Funktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: abschnittsweise definiert, definiert, Funktion, Integration, Stammfunktion

jakob190590 aktiv_icon

18:56 Uhr, 18.12.2009

Hallo

wie bildet man grundsätzlich die Stammfunktion einer abschnittsweise definierten Funktion? Unter welchen Bedingungen geht das überhaupt?

Ein bestimmtes Integral berechnen ist klar: einfach aufteilen an der Nahtstelle und dann die beiden Werte addieren...

aber die Stammfunktion von z.B. dieser Funktion:

f (x) = 2 x f ü r x \in [0; 2]

f (x) = 8 - 2 x f ü r x \in] 2; 4]

(LaTeX \cases{} geht wohl nicht)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Stammfunktion
ln-Funktion

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hagman aktiv_icon

21:08 Uhr, 18.12.2009

Wenn

f

trotz der abschnittsweisen Definition stetig ist, dann gibt es eine Stammfunktion.
Abschnittsweise können wir sie (hoffentlich) bestimmen - jeweils bis auf eine Konstante.
Die Konstanten zu den Abschnitten müssen so gewählt werden, dass sie "zusammenpassen".

Dein Beispiel:

x \mapsto 2 x

hat als Stammfunktion

x \mapsto x^{2} + C_{1}, x \mapsto 8 - 2 x

hat als Stammfunktion

8 x - x^{2} + C_{2}

.
Damit

F (x) = x^{2} + C_{1}

für

x \in [0,2]

F (x) = 8 x - x^{2} + C_{2}

für

x \in] 2,4]

stetig wird, muss

2^{2} + C_{1} = 8 \cdot 2 - 2^{2} + C_{2},

also

C_{2} = C_{1} - 8

gelten.

jakob190590 aktiv_icon

21:26 Uhr, 18.12.2009

ah ok;
also Stammfunktion nur möglich wenn

f

stetig. Stammfunktionswerte müssen an der Nahtstelle gleich sein

\Rightarrow C

's entsprechend bestimmen.

Und wenn man dann so eine (abschnittsweise definierte) Stammfunktion hat, und ein bestimmtes Integral berechnen will, muss man

f

aber trotzdem noch an der Nahtstelle auseinandernehmen und dann addieren, richtig?

danke!

hagman aktiv_icon

21:50 Uhr, 18.12.2009

Hab ich nicht ganz so gesagt, ist aber auch richtig.
Verwendet habe ich für die Nahtstellensache vor allem, dass

F

stetig ist (was aus Differenzierbarkeit folgt)

Für die passend zusammengesetzte Stammfunktion gilt dann aber direkt

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

.
Die Nahtstellenproblematik uist dann durch das Passendmachen der Konstanten schin gelöst worden.

jakob190590 aktiv_icon

22:31 Uhr, 18.12.2009

ok Danke.

Find ich aber erstaunlich, dass das wirklich funktioniert, das was du mir am Schluss noch geschrieben hast... Da kommt wirklich das gleiche raus, wie wenn man eben zwei bestimmte Integrale addiert.

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