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Steigung von einem Wendepunkt bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Steigung, Wendepunkt

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11:21 Uhr, 06.12.2011

Hallo zusammen,

ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter :

- Welche Kurve der Schar hat im Wendepunkt die Steigung

- 18

f w (x) = \frac{1}{6} \cdot x^{3} - 1,5 \cdot w \cdot x^{2}

f w' (x) = 0,5 \cdot x^{2} - 3 \cdot w

f w'' (x) = x - 3 w

f w''' (x) = 1

So bin ich vorgegangen:

1)

Wendepunkt bestimmen
Bedingung

f'' (x) = 0

f'' (x) = x - 3 \cdot w

0 = x - 3 \cdot w

3 \cdot w = x

2)

Überprüfen ob es auch ein Wendepunkt ist ???

Bedingung

f''' (x)

ungleich 0

f w''' (x) = 1

also ungleich Null

\to

also Wendepunkt

3)

Steigung des Wendepunkt

f w' (3 \cdot w) = 0,5 \cdot {(3 \cdot w)}^{2} - 3 \cdot w \cdot (3 \cdot w)

= 0,5 \cdot (9 \cdot w^{2}) - 3 \cdot w \cdot (3 \cdot w)

= 0,5 \cdot (9 \cdot w^{2}) - 9 \cdot w^{2}

= 4,5 \cdot w^{2} - 9 \cdot w^{2}

= - 4,5 \cdot w^{2}

und hier komm ich nicht weiter, aber es soll wie ich es verstanden habe

- 18

rauskommen ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

11:44 Uhr, 06.12.2011

Genau, alles richtig bis hierhin. Oben bei der ersten Ableitung hast Du beim Aufschreiben einen Faktor

x

vergessen, aber da Du richtig gerechnet hast, nehme ich an, dass er auf Deinem Blatt zu Hause steht :-)

Nun

f' (3 w)

mit

- 18

gleichsetzen und das/ die

w

bestimmen, für die die Gleichung erfüllt ist. Fertig :-)

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11:49 Uhr, 06.12.2011

das heißt:

-18 = -4,5* w^2
4= w^2
+ - wurzel aus 4 =w

aber ich muss doch überprüfen ob die Steigung -18 ist. Weshalb dann gleichsetzen ?

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11:52 Uhr, 06.12.2011

achso und jetzt hab ich +2 in fw'(x) eingesetzt und dann kommt -18 raus ??
Ist das richtig

Sams83 aktiv_icon

11:54 Uhr, 06.12.2011

Wenn Du sie gleichsetzt, hast Du doch gewährleistet, dass die Steigung gleich

- 18

ist.

Allgemein zeigst Du ja vorher nur, dass alle Wendepunkte an der Stelle

x = 3 w

liegen, egal welches

w

Du einsetzt.
Die dazugehörige Steigung ist

- 4,5 \cdot w^{2},

wiederum egal welches

w

Du einsetzt.

Du möchtest ja aber herausfinden, für welches

w

(also für welche Kurve der Kurvenschar) die Steigung im Wendepunkt gleich

- 18

ist. Folglich setzt Du das also ein, um Dein

w

zu berechnen.

Ergebnis hast Du richtig berechnet:

w = \pm 2

Sowohl

w = 2

als auch

w = - 2

erfüllen die Bedingung, dass im Wendepunkt (der bei

x = 3 w

liegt, also bei

x = 6

oder

x = - 6)

die Steigung

- 18

ist.

Jetzt klar?

Sams83 aktiv_icon

11:55 Uhr, 06.12.2011

Du musst also zur Kontrolle nicht

x = 2

und

x = - 2

einsetzen, sondern

x = 6

und

x = - 6

Lancome aktiv_icon

11:55 Uhr, 06.12.2011

Ja jetzt versteh ich den Sachzusammenhang :-)
danke schön

Sams83 aktiv_icon

11:57 Uhr, 06.12.2011

Bitte, gern geschehen. Du darfst die Frage noch abhaken :-)

Lancome aktiv_icon

11:59 Uhr, 06.12.2011

ich hätte aber noch eine dumme Frage :S
Muss ich 6 und -6 in die 1. Ableitung einsetzen ?

Sams83 aktiv_icon

14:08 Uhr, 06.12.2011

Ja, wenn Du überprüfen willst, dass die Steigung wirklich

- 18

ist. Kannst natürlich auch sicherheitshalber nochmal überprüfen, dass an dieser Stelle wirklich der Wendepunkt vorliegt, dann setzt Du

x = 6

und

- 6

in die zweite Ableitung ein, und schaust, dass da 0 herauskommt.

Wie gesagt, eigentlich ist das nur die Probe für Dein Ergebnis, in der Klausur würde es reichen, das

w

zu bestimmen und anzugeben.

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