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Symmetrie von Funktionen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Achse, achsensymmetrisch, Funktion, Punkt, Punktsymmetrisch, Symmetrie

Weidendorf aktiv_icon

03:17 Uhr, 08.06.2017

Guten "Abend"!

Bin bei der Vorbereitung zur mündlichen Mathe Matura beim Thema Funktionen kurz hängen geblieben und hab mir ein paar Gedanken zur Symmetrie von Polynomfunktionen gemacht. Was man in der Schule lernt ist die Punktsymmetrie zum Ursprung sowie die Symmetrie zur y-Achse. Es ist jedoch offensichtlich das diese nicht die einzigen Symmetriefälle sind, da die Funktion

g : g (x) = {(x + 1)}^{2}

auch ungerade Potenzen enthält und doch zur Achse

x = - 1

symmetrisch ist.

Habe mir daraufhin Gedanken gemacht ob es da nicht etwas Allgemeineres gibt und bin nach einigen Minuten dann auf die Idee gekommen, dass eine Funktion dann Achsen- bzw. Punktsymmetrisch sein müsste, wenn alle ungeraden Ableitungen an dieser Stelle eine Nullstelle haben. Auf gut Mathematisch:

f :

Polynomfunktion vom Grad

n

\exists a

sodass

\sum_{k = 1}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} | f^{(n - 2 k + 1)} (a) | = 0 \Leftrightarrow f . .

. symmetrisch bzgl. Achse

x = a

bzw. Punkt

P = (a | f (a))

Wie so oft bin ich aber bei etwas, was nicht im Schulstoff gemacht wird, bei der online Recherche auf nichts gestoßen... deswegen die Frage: Stimmt die Überlegung oder habe ich mich vertan?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Zingzang aktiv_icon

22:13 Uhr, 08.06.2017

Eine Funktion der Form

{(x + n)}^{m} + q

hat (soweit ich weiß) immer an der Stelle

(- n | q)

eine Symmetriestelle. Ist

m

gerade, dann liegt eine Achsensymmetrie vor, ist

m

ungerade, ist es eine Punktsymmetrie. Außerdem hat doch jede Ableitung der Funktion

{(x + n)}^{m} + q

an der Stelle

- n

eine Nullstelle!

Eine Funktion der Art

f (x) = a \cdot x^{n} + b \cdot x^{m} ... + q \cdot x^{0},

bei der

n, m

und alle folgenden Exponenten ungerade sind, ist immer eine punktsymmetrische Funktion. Sind

n, m

und alle folgenden Exponenten gerade, dann liegt hier eine Achsensymmetrie vor (das

x^{0}

spielt das keine Rolle).

Ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden.

Mit freundlichen Grüßen
Zingzang

Roman-22

22:16 Uhr, 08.06.2017

Auf "gut mathematisch" sehr gut ausformuliert.
Verbal ist dir davor ein Schnitzer unterlaufen, weil es nur für

n

gerade die ungeraden Ableitungen sind, die Null sind. Für

n

ungerade und Punktsymmetrie bzgl

(a / f (a))

sind es die geraden Ableitungen (mit Ausnahme der nullten, also der Funktion selbst).

Die Frage ist halt, ob es ein Kriterium ist, welches gut handhabbar ist. Denn du müsstest die Symmetriestelle a bereits kennen und dann die ganzen Ableitungen runterrechnen, um die Symmetrie nachzuweisen.

Ein einfacheres Werkzeug wäre da vielleicht die Substitution

x \to x + a

(mit der man dein Kriterium vermutlich ja auch beweisen würde). Wenn dabei eine gerade Funktion (also ein Polynom mit nur geraden Hochzahlen) rauskommt oder eine ungerade Funktion (mit Ausnahme eines vertikalen Versatzes

f (a)),

dann hat man die entsprechende Symmetrie vermutlich schneller gezeigt.

Weidendorf aktiv_icon

23:01 Uhr, 10.06.2017

Danke für die Antworten!

@

Zingzang
Danke für die Antwort und diese ist natürlich auch vollkommen richtig. Allerdings ist es sehr schwer aus einer gegeben Funktion herauslesen zu können ob diese als

(x + n)^{m} + c

angeschrieben werden kann. Zumindest bei sehr hohen Werten für

m

, ansonsten ginge es mit den Koeffizienten wahrscheinlich noch.

@

Roman-22
Erstmal danke für die gewohnt sehr genaue und nette Antwort. :-)
Zum Thema gerade und ungerade: Ich hab mit gerade und ungerade immer den Grad der Ableitung gemeint da mein Gedankengang darauf fixiert war, es war also nicht die Ableitung an sich gemeint. Entschuldigung für die ungenaue Beschreibung.

Zum Thema Symmetriestelle

a

kennen: Da die vorletzte Ableitung, also

d e g (f^{(n)}) = 1

, nur mehr eine Nullstelle haben kann könnte man diese über die bestimmen. Wenn also eine Symmetrie vorliegt müsste diese immer an der stelle

s

liegen:

d = d e g (f)

f (x) = \sum_{n = 0}^{d} a_{n} x^{n}

d! * a_{d} * s + d! * a_{d - 1} = 0

s = - \frac{a_{d - 1}}{a_{d}}

Man könnte diesen Wert für

s

also gleich am Anfang berechnen und dann schauen ob die ersten Ableitungen mit einem ungeraden Grad ;-) an dieser Stelle den Wert

0

annehmen. Ich gehe davon aus, dass eine zufällige Funktion dieses Kriterium bereits recht schnell brechen würde daher wäre das denk ich schaffbar.

Lg

Bearbeitung:
Erwähnenswert wäre vielleicht noch das

s

immer existiert da

a_{d} \neq 0

sein muss, da ansonsten

d e g (f) \neq d

wäre

\to

Widerspruch mit Annahme

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