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Taylorreihe

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Tags: Exponentialfunktion, Taylorreihe

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:33 Uhr, 18.03.2013

Hey guten Morgen alle zusammen.

a)

Wie lautet allgemein die Taylor-Entwicklung einer Funktion

f (x)

um einen Punkt

x_{0}

b)

Geben Sie die Taylorentwicklung der Funktion

f (x) = \frac{1}{1 + x}

x_{0} = 1

bis einschließlich

O ({(x - 1)}^{2})

an.

c)

Wie lautet die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion um

x_{0} = 0

? Bestimmen Sie die Taylorreihe

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

der Funktion

f (x) = cos h (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

x_{0} = 0

. Geben Sie den Koeffizienten

a_{n}

explizit an.

a) P (x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} {(x - x_{0})}^{n}

b) f (x) = \frac{1}{1 + x} f (1) = \frac{1}{2}

f' (x) = - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} f' (1) = - \frac{1}{4}

f'' (x) = \frac{2}{{(1 + x)}^{3}} f'' (1) = \frac{1}{4} . .

P (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 1) + \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2}

Kann man noch zusammenfassen, ist aber nicht nötig, oder ?

c) f (x) = e^{x}

f^{n} (x) = e^{x}

f^{n} (0) = 1

P (x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}

Bis jetzt alles richtig, für Anmerkungen bin ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:38 Uhr, 18.03.2013

Hallo

a)

das 'Wie' ist ganz ordentlich in Wikipedia beschrieben, unter:
http//de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

Und du hast es ja auch schon niedergeschrieben, unter

a) P (x) =

Anmerkung:
Unter dem Summenzeichen müsste es heisen: nicht "x=0", sondern "n=0".

b)

Kochrezept:

>

erst mal Ableitungen der Funktion bilden.

>

dann die Ableitungen im Entwicklungspunkt

x_{0}

errechnen

(d . h

. da kommt dann wirklich ein Zahlenwert raus.)

>

dann einfach in diese Werte passend in die Taylor-Formel einsetzen.

Ich kann aus deinem gekürzten Formel-Sammelsurium zwar erahnen, was du ausdrücken willst, und auch erahnen, dass du einiges richtig gemacht hast. Direkt Fragen kann ich aber nicht entnehmen.
In so fern weiß ich / wissen wir auch nicht recht, wie wir dir helfen sollen.
Wenn du einfach nur Bestätigung suchst, dass das was du getan hast richtig ist, dann tendenziell ja.

c)

ich vermute,

>

Wie lautet die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion um

x 0 = 0

>

Bestimmen Sie die Taylorreihe der cosh(x)-Funktion.
Sind zwei getrennte Teilaufgaben.

Die Lösung zu

c . 1)

kann ich unten ersehen.
Auch hier wieder:
Unter dem Summenzeichen müsste es heisen: nicht "x=0", sondern "n=0".

Die Lösung zu

c . 2)

kann ich niergends entdecken.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

13:18 Uhr, 18.03.2013

Ich korriegiere dann mal meine Sachen und bitte soweit um Überprüfung, wäre nett wenn es nicht tendenziell richtig ist, sondern komplett richtig ist :-)

a) P (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} {(x - x_{0})}^{n}

b) f (x) = \frac{1}{1 + x}

f (1) = \frac{1}{2}

f' (x) = - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}

f' (1) = - \frac{1}{4}

f'' (x) = \frac{2}{{(1 + x)}^{3}}

f'' (1) = \frac{1}{4}

Und wenn man alles in die Formel eingibt bis zur 2ten Ordnung erhält man doch ?

P (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 1) + \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2}

c) f (x) = e^{x}

f^{n} (x) = e^{x}

f^{n} (0) = 1

P (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}

Bis hierhin müsste doch aber alles komplett richtig sein ?

Und jetzt mache ich noch den zweiten Teil von

c)

f (x) = cos h (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

f (0) = 1

f' (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

f' (0) = 0

. .

. und das setzt sich so fort.

Aber wieso bestimme ich jetzt den Koeffizienten und die Taylorreihe.

Der Koeffizient wechselt ja immer zwischen 0 und 1 nur wie drückt man das aus ?

Und wie bekomme ich den Rest der Taylorreihe heraus ?

Ich würde es so aufschreiben