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Tetraeder - formel begründen

Schüler

Tags: Formel, tetraeder, volum

pueppilottchen aktiv_icon

18:25 Uhr, 10.05.2014

Hallo,
Wir haben in der Schule die Aufgabe

15 a)

in der beigefügten Datei durchgenommen und den Lösungsweg bereits an der Tafel gehabt. Ich habe das ganze aber nicht verstanden. Habe Aufgabe und Lösungsweg von der Tafel fotografiert und hier anbei angehängt.
Hoffentlich kann mir jemand erklären was mein Lehrer sich dabei gedacht hat?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Stephan4

19:33 Uhr, 10.05.2014

Du kannst davon ausgehen, dass die Volumsformel eines Körpers, der oben spitz zusammenläuft so aussieht:

V = G \cdot \frac{h}{3}

G

ist die Grundfläche und kann durch a ausgedrückt werden.

h

ist die Höhe und kann ebenfalls durch a ausgedrückt werden.
Beides in die Formel oben eingesetzt ergibt die Formel im Buch.

Verständlich?

pueppilottchen aktiv_icon

20:01 Uhr, 10.05.2014

Ehrlich gesagt nicht.
Das was ich da im Heft stehen habe soll erklären wie jemand auf die Formel im Buch links am Rand gekommen ist und ich verstehe nur Bahnhof. Auch was du jetzt mit dem a meinst weiß ich ehrlich gesagt nicht.

pueppilottchen aktiv_icon

20:04 Uhr, 10.05.2014

Die Volumensformel vom Tretraeder steht doch da im Buch am Rand.
Was ist das denn jetzt für eine Formel die du da aufgeschrieben hast?

Stephan4

23:00 Uhr, 10.05.2014

Die Formel

G \cdot \frac{h}{3}

gilt für jede beliebige Grundfläche. Hier ist es ein Dreieck, von dem a (das ist eine Seite) bekannt ist. Mit diesem a kann man, unter Einsatz des Pythagoras, die Fläche ausrechnen. Hinweis: Dreiecksfläche rechnet man mit der Höhe des Dreiecks aus. Du musst eben ein rechtwinkeliges Dreieck in der Grundfläche finden.

Auch die Höhe des Volumens geht mit Pythagoras.

anonymous

23:24 Uhr, 10.05.2014

Die Formel, die Stephan4 geliefert hat, ist zur Berechnung des Volumens

V

einer Pyramide oder eines Kreiskegels (oder von anderen "geradlinig spitz zusammenlaufenden" Körpern, welche man wohl als "allgemeine Kegel" bezeichnen könnte).

Und da ein Tertraeder eine spezielle Pyramide ist, kann man diese Formel auch zur Berechnung des Volumens eines Tetraeders verwenden. Diese Formel sollte dir eigentlich bekannt sein, da diese wohl auch bei dem als Bild angehängten Lösungsweg verwendet wurde. Sollte dir diese nicht bekannt vorkommen, so solltest du nochmal dein Schulbuch oder deine Hefteinträge danach durchsuchen und sie dir aneignen.

Nun nochmal genauer zur Aufgabe:

Das gesuchte Volumen

V,

kann, wie bereits erwähnt, mit der Formel

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

berechnet werden. Dabei ist

h

die Höhe des Tetraeders und

G

der Flächeninhalt der Grundfläche.

In deinem Hefteintrag wurde (im Gegensatz zur Zeichnung im Buch) die Höhe des Tetraeders mit

h_{K}

bezeichnet und der Flächeninhalt mit einem

g

.
So dass die Formel im konkreten Fall die folgende Form annimmt:

V = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h_{K}

Nun muss man natürlich wissen, wie groß

g

und

h_{K}

sind, dazu wird in den ersten beiden Zeilen zunächst der Flächeninhalt

g

der Grundfläche (welche ein Dreieck ist) berechnet.
Die Höhe des Dreiecks (welches die Grundfläche bildet) wurde mit

h

bezeichnet. Da dieses Dreieck ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge

a

ist, kann man sofort sehen, dass

h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3}

ist.

Kennt man diese Beziehung zwischen Seitenlänge und Höhe eines gleichseitigen Dreiecks nicht, so kann man mit Hilfe des Satzes von Pythhagoras die Gleichung

{(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = a^{2}

aufstellen und diese nach

h

auflösen:

\frac{a^{2}}{4} + h^{2} = a^{2}

h^{2} = \frac{3}{4} \cdot a^{2}

h = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a

Jedenfalls entspricht das der ersten Zeile in der angehängten Lösung.

Anschließen kann man mit der Länge a der Grundlinie und der Höhe

h

des Dreiecks, den Flächeninhalt

g

des Dreiecks berechnen:

g = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}

Das entspricht der zweiten Zeile der angehängten Lösung.

Nun wurde die Tatsache benutzt, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im so genannten Schwerpunkt schneiden und dieser Schwerpunkt des Dreiecks die Seitenhalbierenen im Verhältnis

2 : 1

teilt, so dass der längere Abschnitt also

\frac{2}{3}

der Gesamtlänge der Seitenhalbierenden beträgt. Im Fall eines gleichseitigen Dreiecks, stimmen Dreieckshöhen und Seitenhalbierenden überein, so dass der längere Abschnitt der Seitenhalbierenden also die Länge

\frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3}

besitzt.

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras wurde dann die Gleichung

a^{2} = {(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3})}^{2} + h_{K}^{2}

aufgestellt.

Das entspricht der dritten Zeile in der angehängten Lösung.

Die Gleichung wurde dann nach

h_{K}^{2}

umgestellt und dabei

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}

\frac{1}{3}

vereinfacht:

h_{K}^{2} = a^{2} - {(\frac{1}{3} \cdot a \cdot \sqrt{3})}^{2}

Das entspricht der vierten Zeile in der angehängten Lösung.

Nun wurde

{(\frac{1}{3} \cdot a \cdot \sqrt{3})}^{2}

\frac{1}{3} \cdot a^{2}

vereinfacht:

h_{K}^{2} = a^{2} - \frac{1}{3} \cdot a^{2}

Das entspricht der fünften Zeile in der angehängten Lösung.

Nun wurde

a^{2} - \frac{1}{3} \cdot a^{2}

\frac{2}{3} \cdot a^{2}

zusammengefasst:

h_{K}^{2} = \frac{2}{3} \cdot a^{2}

Das entspricht der sechsten Zeile in der angehängten Lösung.

Dann wurde noch auf beiden Seiten radiziert (die Wurzel gezogen):

h_{K} = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}

Das entspricht der siebten Zeile in der angehängten Lösung.

Nun wurde in die Formel

V = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h_{K}

für

g

und

h_{K}

entsprechend eingesetzt und anschließend etwas vereinfacht:

V = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h_{K} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3}

Dies findet man auf der rechten Seite in der angehängten Lösung.

Damit wäre Teilaufgabe

a)

erledigt.

Für Teilaufgabe

b)

soll das Volumen

V = 500 m l = 500 c m^{3}

betragen:

V = 500 c m^{3}

Mit der angegebenen bzw in Teilaufgabe

a)

nachgewiesenen Formel, erhält man:

\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} = 500 c m^{3}

Das kann man dann nach a auflösen, so dass man erhält:

a = \sqrt[3]{\frac{12}{\sqrt{2}} \cdot 500 c m^{3}} \approx 16,2 c m

(Oder man hat einen Taschenrechner, in den man gleich die Geichung

\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} = 500

eingeben kann, so dass man nicht vorher die Gleichung umstellen muss.)

Damit hat man die gesuchte Seitenlänge.

Nun ist noch nach dem Materialbedarf gefragt, für den die Oberfläche relevant ist. Schließlich befindet sich das Verpackungsmaterial außen an der Oberfläche des Produkts.

Die Oberfläche besteht beim Tetraeder offensichtlich aus vier gleichgroßen gleichseitigen Dreiecken. Nun kennt man bereits den Flächeninhalt eines dieser vier Deiecke, welchen man zuvor mit

g = \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}

berechnet hat und der nun mit

G

bzeichnet wird. (Ich binn immer noch der Meinung das

g

zu in der ersten Zeile sollte eigentlich ein

G

sein.) Demnach erhält man den Flächeninhalt

O

der gesamten Oberfläche durch:

O = 4 \cdot G = 4 \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{3} = a^{2} \cdot \sqrt{3} \approx {(16,2 c m)}^{2} \cdot \sqrt{3} \approx 454 c m^{2}

Damit wäre die Aufgabe fertig bearbeitet.

Sollte es noch Unklarheiten geben, so würde ich bitten die entsprechende Stelle zu benennen, dann kann ich diese nochmal etwas genauer ausführen.

anonymous

23:24 Uhr, 10.05.2014

Edit: Sorry, der Beitrag wurde aus Versehen zweimal gepostet.

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