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Textaufgabe Differentialrechnung

Schüler

Tags: Extrempunkt, Funktion, Wendepunkt

Matheoline aktiv_icon

23:24 Uhr, 13.06.2011

Eine Firma stellt Feuerwerkskörper her und wirbt damit, die Silvesterrakete zu verkaufen, die die höchste Geschwindigkeit erreicht. Zum Beweis werden jährlich Versuchedurchgeführt und von der Flugbahn Weg-Zeit-Diagramme aufgenommen. Dabei wird die Flughöhe in Metern über der Fligdauer in Sekunden dargestellt. Diese Flugbahn kann vom Start bis einschließlich

3,1

Sekunden danach durch den Graphen der Funktion

s (t) = - 2,5 t^{4} + 4 t^{3} + 27 t^{2}

beschrieben werden.

a und

b

habe ich schon gemacht.

c)

Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit der Silvesterrakete, nennen Sie die mathematische Bezeichnung dieses Punktes von

s (t)

und errmitteln Sie nach welcher Zeit die maximale Geschwindigkeit auftritt. Geben Sie die maximale Geschwindigkeit zusätzlich in km/h an und wie hoch ist die Rakete zu diesem Zeitpunkt?

d)

Berechnen Sie algebraisch die maximale Beschleunigung, der die Rakete ausgesetzt ist und wann diese auftritt. Wie schnell ist die Rakete zu diesem Zeitpunkt?

zuerst zu

d)

Ich habe die zweite Ableitung von der Funktion gebildet,

t 1

und

t 2

ausgerechnet, also die Wendepunkte, den höheren Wendepunkt habe ich genommen, dies soll die maximale Beschleunigung sein. Das Ergebnis habe ich in die erste Ableitung gesetzt für

t

und das Ergebnis soll die Schnelligkeit der Rakete zu dem Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung sein. Ist das richtig? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht? Und wie rechnet man aus, wann diese eintritt? Dazu habe ich keine Idee.

c)

Bei

C

hätte ich eigentlich die Extremwerte ausgerechnet und den Hochpunkt als Ergebnis genommen. Das wurde aber schon bei

b)

gemacht und das soll dort richtig sein. Oder muss ich hier die zweite Ableitung nehmen, aber was mache ich dann bei

d)

? Kann mir da jemand helfen?

Danke für etwaige Hilfe.

Gruß Matheoline

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Yokozuna aktiv_icon

00:19 Uhr, 14.06.2011

Hallo,

die Geschwindigkeit ist ja die 1. Ableitung von

s (t),

also

v (t) = \frac{d}{d t} s (t) = - 10 \cdot t^{3} + 12 \cdot t^{2} + 54 \cdot t

Wenn man jetzt die maximale Geschwindigkeit sucht, muß man die Extremwerte von

v (t)

berechnen, also

\frac{d}{d t} v (t) = - 30 \cdot t^{2} + 24 \cdot t + 54 = 0

Die positive Lösung davon ist dann der Zeitpunkt tmax, bei dem die höchste Geschwindigkeit auftritt und die höchste Geschwindigkeit selbst ist dann vmax = v(tmax)
Das ist jetzt das, was Du glaube ich unter

d)

gerechnet hast.

Bei

d)

ist die Beschleunigung die 1. Ableitung von

v (t),

also

a (t) = - 30 \cdot t^{2} + 24 \cdot t + 54

Und die maximale Beschleunigung ist dann der Extremwert von

a (t),

also muß man rechnen

\frac{d}{d t} a (t) = - 60 \cdot t + 24 = 0

Das ist dann der Zeitpunkt, zu dem die maximale Beschleunigung auftritt. Wenn man diesen Zeitpunkt in

a (t)

einsetzt bekommt man die maximale Beschleunigung selbst und die zugehörige Geschwindigkeit kriegt man durch Einsetzen dieses Zeitpunktes in

v (t)

.

Viele Grüße
Yokozuna

loopy aktiv_icon

01:18 Uhr, 14.06.2011

Hey Matheoline,

ich möchte dir gern bei deinem Problem weiterhelfen.

Lösung zur Aufgabe c:

Die Geschwindigkeit ist mithilfe der Ableitung wie folgt definiert:

v = \frac{d x (t)}{d t} = s ʹ (t)

Um nun die maximale Geschwindigkeit

v_{m a x}

zu erhalten, musst du die Funktion

v (t)

nochmal ableiten und Null setzen:

\frac{d v (t)}{d t} = v ʹ (t) = s ʺ (t) \overset{!}{=} 0 = - 30 * t^{2} + 24 * t + 54

Mithilfe der

p q

-Formel kann nun das

t

bestimmt werden:

- 30 * t^{2} + 24 * t + 54 = 0

1 * t^{2} - 0.8 * t - 1.8 = 0

mit

p = - 0.8, q = - 1.8

p q

-Formel:

t_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}

t_{1 / 2} = - \frac{(- 0.8)}{2} \pm \sqrt{(\frac{(- 0.8)}{2})^{2} - (- 1.8)}

t_{1 / 2} = 0.4 \pm \sqrt{0.16 + 1.8)}

t_{1 / 2} = 0.4 \pm \sqrt{1.96}

\underline{t_{1 / 2} = 0.4 \pm 1.4}

Für unsere weitere Berechnung ist nur

t_{1} = 1.8 s

interessant, da

t_{2}

zu einer negativen Zeit als Lösung führt.

Den Nachweis für

v (t_{1}) = v_{m a x}

erspare ich mir nun. Dafür müsste man

v ʹ (t)

nochmal ableiten,

t_{1}

einsetzen und zeigen, dass

v ʺ (t_{1} = 1.8) < 0

ist.

Um nun die maximale Geschwindigkeit zu bekommen, müssen wir

t_{1}

in die Gleichung von

v (t)

einsetzen und uns den zugehörigen Funktionswert

v (t = 1.8)

berechnen:

v (t = 1.8) = - 10 * 1 . 8^{3} + 12 * 1 . 8^{2} + 54 * 1.8 = \underline{77, 76} \Rightarrow \underline{279, 94 [\frac{k m}{h}}]

Die zugehörige Höhe erhält man durch Einsetzen von

t_{1}

s (t)

s (t_{1}) = - 2.5 * 1 . 8^{4} + 4 * 1 . 8^{3} + 27 * 1 . 8^{2} = 84.56

v_{m a x}

nennt man Maximum von

v (t)

bzw. Wendepunkt von

s (t) .

Für die Aufgabe d gehst du mit der gleichen Denkweise wie bei c ran. Nur ist hier folgender Ansatz:

a (t) = \frac{d v (t)}{d t} = \frac{d^{2} s (t)}{d t^{2}}

Falls Fragen sind, stehe ich gern zur Verfügung.

LG Loopy

Yokozuna aktiv_icon

12:02 Uhr, 14.06.2011

@loopy

Hallo loopy,

wenn Du gern auf Fragen antwortest, die andere eigentlich schon beantwortet haben, ist das natürlich Deine Sache (vielleicht ist ja Deine Antwort einleuchtender als die andere). Aber da Du noch ziemlich neu im Forum bist, ist Dir vieleicht noch nicht aufgefallen, daß bei vielen Fragen am Ende ein Hinweis an die Helfer steht, den man beachten sollte. Wenn da

z . B .,

wie bei dieser Frage, steht "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen", dann sollte man dem Fragenden erst mal nur Hinweise geben, mit deren Hilfe er dann die Aufgabe wenn möglich selbständig lösen kann. Der/die Fragesteller/in hat durch eine selbst gelöste Aufgabe sicher ein größeres Lern- und Erfolgserlebnis, als wenn man ihm sofort eine Komplettlösung serviert, die einen solchen Lernerfolg eher verhindert. Ich schätze

z . B

. Matheonline durchaus so ein, daß sie eine quadratische Gleichung selbst lösen kann. Erst wenn nach einigen Hinweisen die Lösung immer noch nicht gelingt, ist dann vielleicht eine Komplettlösung angebracht.
Deshalb die Bitte an Dich, die Hinweise an die Helfer möglichst zu beachten und zu bedenken, daß Komplettlösungen nicht immer die beste Hilfe sind. Ich wünsche Dir weiterhin viel Erfolg und Spaß beim Helfen.

Viele Grüße
Yokozuna

Matheoline aktiv_icon

17:37 Uhr, 14.06.2011

Danke Euch Beiden, mir haben beide Antworten geholfen und ja eine quadratische Gleichung kann ich selber lösen, fand ich aber nicht schlimm, dass es da stand, habe eh das dann alleine gerechnet, brauchte ja nur den Ansatz.

Gruß Matheoline

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