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Umfangberechnung beim Einheitskreis

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Tags: Einheitskreis, Umfang

 
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ElliB

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11:23 Uhr, 04.12.2008

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Also folgenede Aufgabe:
Wie in der Vorlesung skizziert, können zur näherungsweisen Berechnung des einheitskreisumfanges (und damit der Zahl π) die Umfangslängen der eingeschriebenen (un) (n el ℕ)) und der umschreibenden (Un) (n el ℕ) regelmäßigen n-Ecke eingesetzt werden.
Entwickeln Sie für (u2n) und (U2n) mit n>1 jeweils eine rekursive Berechnungsvorschrift.

Ganz ehrlich: Ich weiß überhaupt nicht, wie ich an die Sache rangehen soll. Ich wäre schon recht dankbar für einen Lösungsansatz! Wie muss man hier vorgehen?

Danke im Voraus, Elli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

12:07 Uhr, 04.12.2008

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Teile den vollen Winkel des Einheitskreises (360° oder 2⋅Π)
in n Teile (360°/n oder 2⋅Πn).

Zeichne dir Strahlen vom Mittelpunkt durch den Kreis.

Wenn du die Schnittpunkte der n Strahlen mit dem Kreisbogen verbindest, erhälst du ein innenliegendes n-Eck, welsches in n gleichschenklige Teildreiecke zerlegt ist.

Die Länge einer Basislänge des Teildreiecks kannst du jetzt ausrechnen, da die Schenkellänge =r=1 ja bekannt ist.
Die Gesamtlänge des Umfangs des innenliegenden n-Ecks erhälst du aus n mal die Basislänge.

Bei einem ∞ -Eck erhälst du den Umfang des Einheitskreises.

Genauso verfährst du mit dem außenliegenden n-Eck.

Verbinde die Strahlen außerhalb des Kreises so, das ebenfalls wieder gleichschenklige Teildreiecke rauskommen.

Hier ist jetzt nicht die Schenkellänge, sondern die Höhe auf der Basis mir r=1 gegeben.

Wieder die Basislänge berechnen.
Die Gesamtlänge des Umfangs des außenliegenden n-Ecks erhälst du aus n mal die Basislänge.

Auch hier nähert sich der Umfang des n-Ecks dem Umfang des Einheitskreises, je höher du n wählst.

...so, jetzt hast du erstmal einen Denkanstoß...

:-)
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