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Unterschied von Polynom und Polynomfunktion

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 10. Klassenstufe

Tags: polynom, Polynomdivision, Polynomfunktion

mrmathematik aktiv_icon

15:39 Uhr, 09.02.2011

Die Formel

p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i},

wobei

n \geq 0

ist die allgemeine Formel einer ganzrationalen Funktion / Polynomfunktion.

Kann mir jemand bitte die Formel erklären, dabei wäre es nett wenn er speziell auf das

Σ

eingehen könnte, ich habe dies noch nicht in der Schule behandelt und habe daher keinerlei Grundkenntnisse in Bezug auf eine Notation wie diese.

Wenn man die Formel anders formuliert, ergibt sich diese Formel:

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . .

+ a_{1} x + a_{0}

Bei dieser Formel kann die Zahl der Summanden beliebig variieren, da durch "..." gekennzeichnet ist, dass mehrere Summanden hinzu gefügt oder weggelassen werden können. Was ich nicht verstehe ist, warum man bei der zuerst genannten Formel auch beliebig viele Summanden haben kann. Anders formuliert, warum heißt die Formel:

p (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{i}

und nicht:

p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} + . .

+ p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

Ich freue mich auf Eure Antworten und stehe jederzeit für Rückfragen zur Verfügung
Vielen Dank im Voraus
mrmathematik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

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Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen

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Edddi aktiv_icon

10:44 Uhr, 09.02.2011

..es gibt keinen Unterschied.

Polynom ist die Kurzbezeichnung einer Polynomfunktion.

Diese ist definiert mit:

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot x^{i}

mit

n \geq 0

Damit ist

P (x) = a_{0} \cdot x^{0} = a_{0}

ein Polynom oder eine Polynomfunktion 0-ten Grades wobei der Grad den höchsten Exponenten bezeichnet.

Auch

y = x^{4}

ist somit ein Polynom, oder

y = 2 \cdot x

;-)

smoka

10:46 Uhr, 09.02.2011

Hallo,

kurze Antwort: Es gibt im Allgemeinen keinen Unterschied. Ein Polynom ist per definition:

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

und das ist eine Fkt. und zwar eine Polynomfunktion.

Vielleicht kannst Du Dir die Frage auch selbst beantworten. Du hast ja oben die Definition stehen. Überleg Dir mal, ob man

f (x) = a_{0}

durch eine Summe in der Form wie oben darstellen kann. Wenn das geht, ist es auch ein Polynom.

Gruß,

smoka

mrmathematik aktiv_icon

11:49 Uhr, 09.02.2011

Vielen Dank für die Antwort:

Aber die Definition eines Polynoms mithilfe des Sigmars verstehe ich nicht, es wäre sehr nett wenn Sie mir diese gut erklärt erläutern könnten. In der Schule haben wir

Σ

noch nicht behandelt und ich verstehe dies allgemein leider nicht, obwohl ich mir mehrer Erklärungen durchgelsen habe.
Ich habe es so weit verstanden, dass unter dem

Σ i = 0

steht, da null, die kleinste Zahl ist, die für

i

eingesetz werden darf, da es sich bei Polynomen nur um reele Zahlen handelt. Das

n

über dem

Σ

ist die höchste Zahl, die für

i

einsetzen kann. Wie ist es aber dann bei

f (x) = 2 x,

da wurde doch gar nicht das kleinste

i,

also 0 eingesetz warum nicht?

- -

Ihr seht ich habe dies noch nicht so ganz verstanden

: (

und hoffe auf eure Mühe mir dies zu erklären.

Auf Ihren Hinweiß hin, wie man die Formel:

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . .

+ a_{1} x + a_{0}

so schreiben kann:

f (x) = a_{0}

kann ich leider keine hundert prozentige sichere Antwort geben, aber ich denke man muaa alle anderen Koeffizierten gleich 0 wählen, stimmt das?

Ich habe außerdem noch eine andere Frage und zwar, der Index (damit meine ich das klein gedruckte

n

hinder dem

a)

von

a_{n}

bedeutet doch, dass der Koeffiziert a zu der Potenz

x^{n}

gehört, oder? Habe ich das richtig verstanden. Außerdem ist meine Frage:
Wenn man

n = 1

wählt, dann ist

(n - 1) = 0

und

(n - 2) = - 1,

dass geht doch dann garnicht oder? Heißt das "-1" eigentlich, dass man von der gewählten Zahl eins abziehen muss, oder das die nächst kleine Zahl in einer selbst definierten Rangfolge dran kommt?

Ich hoffe ihr behaltet den Überblick über meine vieln Fragen und ich würde mich sehr freuen wenn ihr alle Fragen beantworten würdet

Mit Freudnlichen Grüßen
mrmathematik

PS: Entschuldigung für die vielen Fragen, ich hoffe das ist nicht unverschämt aber ich verstehe es wirklich nich und ich habe schon alle anderen Wege zum Verständnis abgeklaper :-)

DmitriJakov aktiv_icon

16:22 Uhr, 09.02.2011

Ich versuche es mal etwas anders zu erklären:
Das Zeichen

Σ

heisst übrigens "Sigma" und nicht "Sigmar". Dieses Zeichen steht schlicht als Abkürzung für "Summe von dem, was nach mir steht, was so oft zu sich selbst addiert wird, wie ganze Zahlen Platz haben zwischen dem, was unter mir und dem, was über mir steht"

Beispiel:

\sum_{i = 1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Beispiel

2 :

\sum_{i = 1}^{5} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}

Der Index

a_{i}

bzw.

a_{1}, a_{2}

usw., dient zur einfacheren Unterscheidung der einzelnen Glieder. Anstatt

a, b, c,

etc. zu verwenden, nimmt man eben einen einzelnen Buchstaben und hängt ihm verschiedene Etiketten dran.

Beim Polynom wäre das so:
Anstatt zu schreiben

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x^{1} + e

kann man schreiben:

a_{1} x^{4} + a_{2} x^{3} + a_{3} x^{2} + a_{4} x^{1} + a_{5}

Man kann aber auch a anders durchnumerieren:

Z . B

so:

a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0}

Und weil

x^{0} = 1

ist, kann man dem

a =

auch inen Prtner gönnen:

a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} \cdot x^{0}

Nun in der numerischen Reihenfolge sortieren:

a_{0} x^{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}

Jetzt kommt die Sigma-Abkürzung:

\sum_{i = 0}^{4} a_{i} x^{i}

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