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Vektorrechnung Sachaufgabe Klasse 12

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Geometrie, Skalarprodukt, Vektor, Vektorgeometrie, Vektorrechnung, Winkel

aventuriny aktiv_icon

12:43 Uhr, 30.10.2013

Hallo,
ich habe Probleme bei ein paar Teilaufgaben einer ziemlich großen und ausführlichen Sachaufgabe. Da alle Teilaufgaben miteinander zusammenhängen schreibe ich auf bis wohin ich gekommen bin...

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug auf den Flughafen Köln-Bonn. Ein einem Koordinatensystem, bei dem der Flughafen sich in der x1-x2-Ebene befindet, beträgt seine Position um

10 : 05

Uhr P(-7\-2\1,5) und um

10 : 06

Uhr Q(-3,5\1\1,25). Eine Längeneinheit entspreche 1km.

a)

Wo befindet sich das Flugzeug bei gleichbleibender Geschwindigkeit und bei konstantem Kurs um

10 : 07

Uhr und um

10 : 08

?

Zunächst habe ich den Richtungsvektor PQ berechnet.
PQ= OQ - OP

= (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

. PQ entspricht also der Strecke pro Minute.
Für

10 : 07

habe ich gerechnet:

R =

+

= (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Für

10 : 08

Uhr

S =

+

= (\begin{matrix} 3,5 \\ 7 \\ 0,75 \end{matrix})

Man hätte glaube ich so eine Gleichung aufstellen können: OP

\cdot t +

PQ und dann für

t

eine Zeiteingabe (zum Beispiel 2 für 2 Minuten) einsetzen.

b)

Zu welcher Uhrzeit und an welchem Punkt setzt das Flugzeug auf dem Flughafen auf?
Zunächst habe ich diese Gleichung aufgestellt:

(\begin{matrix} 3,5 \\ 7 \\ 0,75 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

Der Flughafen befindet sich in der x1-x2-Ebene, das heißt

x 3

muss 0 sein wenn das Flugzeug gelandet ist:

0,75 - 0,25 \cdot t = 0

\to t = 3

einsetzen in die Gleichung:

(\begin{matrix} 3,5 \\ 7 \\ 0,75 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 16 \\ 0 \end{matrix})

ist der Ort der Landung.
Da

t = 3 (3

Minuten) und ich den Stützvektor um

10 : 08

genommen habe rechne ich

10 : 08

plus

3 = 10 : 11

.
Hätte man diesen Schritt mit der Uhrzeit irgendwie anders lösen können? Das erscheint mir als ziemlich "mathematisch unkorrekt" hier einfach plus zu rechnen :-D).

c)

Die Spitzen der Türme des Kölner Doms haben die Koordinaten (7\10\0,16). Eignet sich der Kurs des Flugzeugs, um den Dom gefahrlos zu überfliegen?

Hier habe ich geguckt ob der Punkt auf der Flugbahn

(\begin{matrix} - 7 \\ - 2 \\ 1,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

liegt:

7 = - 7 + 3,5 t \to t = 4

10 = - 2 + 3 t \to t = 4

0,16 = 1,5 - 0,25 t \to t = 5,36

Das Fleugzeug kollidiert also nicht mit dem Dom.

d)

Die Domtürme sind

160 m

hoch. Nutzen Sie diese Angabe, um die Geschwindigkeit des Flugzeigs und den Gleitwinkel (Winkel zwischen Flugbahn und Erdboden) zu berechnen. Bewerten Sie den Gleitwinkel.

e)

Auf den Rheinwiesen im Punkt W(9,25\13\0) lassen Kinder um

10 : 03

Uhr einen Luftballon steigen. Er wird vom Wind etwas abgetrieben und steigt pro Minute um den Vektor

(\begin{matrix} 0,25 \\ 0 \\ 0,05 \end{matrix})

. Prüfen Sie ob der Luftballon die Flugbahn des Flugzeugs kreuzt und ob er mit dem Flugzeug kollidiert.

f)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem der Abstand zwischen Flugzeug und dem Ballon am kleinsten ist.

Bei den 3 Teilaufgaben habe ich leider keine Ahnung wie ich anfangen soll. Ich hoffe jemand kann mir einen Anstoß geben...

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

14:51 Uhr, 30.10.2013

Wo in der x/y-Ebene liegt denn der Flughafen.....

aventuriny aktiv_icon

15:03 Uhr, 30.10.2013

In der Aufgabenstellung steht kein genauer Ort, sondern nur, dass er auf der x1-x2-Ebene liegt.

Bei

b)

sollte man doch auch berechnen an welchem Punkt das Flugzeug aufsetzt. Da habe ich den Vektor

(\begin{matrix} 14 \\ 16 \\ 0 \end{matrix})

herausgekriegt. Diesen Punkt kann man doch benutzen für den Ort des Flughafens.

Ich habe Lösungen zu den Teilaufgaben

d) e)

und

f)

d)

Winkel: 3,1° ; Geschwindigkeit

276,99

e)

Die Flugbahnen kreuzen sich

(\begin{matrix} 10,5 \\ 13 \\ 0,25 \end{matrix})

. Keine Kollision.

f) 10 : 10

Uhr

Hat wirklich keiner eine Idee?

prodomo aktiv_icon

17:25 Uhr, 30.10.2013

Es ist immer schwierig, bei so umfangreichen Texten die Übersicht zu wahren. So hatte ich diesen Teil überlesen.
Der Ansatz zur Geraden, auf der sich das Flugzeug bewegt, ist richtig. Mit

t =

Zahl der Minuten nach

10 : 08

passt das Ergebnis.
Bei der Frage nach dem Dom dürfte eher keine direkte Kollision, sondern der kürzeste Abstand von der Geraden gefragt sein. Auch eine Maschine, die nur knapp über dem Dom fliegt, dürfte für Panik sorgen.
Wie man an den Koordinaten leicht sehen kann, ist die Maschine bei

t = 1

genau über dem Dom. Dann beträgt ihre Höhe noch

0,5

. Das sind

500 m,

also

340 m

über dem Turmkreuz - und das über der City, da dürften so einige Luftfahrtvorschriften verletzt sein. Laut Richtungsvektor ist das Flugzeug

\sqrt{{3,5}^{2} + 3^{2} + {0,25}^{2}} = 10,503

km pro Minute oder

630

km pro Stunde schnell, da wackelt das Kreuz bestimmt.
Was die Höhe des Doms mit der Geschwindigkeit und dem Gleitwinkel zu tun haben soll, bleibt das Geheimnis desjenigen, der die Aufgabe gestellt hat. Ein Sachzusammenhang ist nicht erkennbar.
Den Winkel berechnest du mit dem Skalarprodukt, und zwar den Winkel gegen die z-Achse. Den ziehst du dann von

90^{0}

ab.

3,1

Grad müssten es sein.
Auch für den Ballon gibt es eine einfache Lösung, weil er sich bezüglich der y-Koordinate nicht verändert, sondern immer bei

13

bleibt. Daher gibt es nur einen Schnittpunkt, wenn auch das Flugzeug bei

y = 13

ist. Das wäre

(10,5 | 13 | 0,25)

. Der Ballon ist um

10 : 08

dort, die Maschine um

10 : 10

. Also verpassen sie sich um ca.

20

(s

. Geschwindigkeit).

f)

löst du mit einem Vektor

\vec{d},

der die Positionen des Ballons und des Flugzeuges verbindet (Differenzvektor). Dessen Betrag muss minimal werden, wobei die Wurzel minimal wird, wenn der Radikand minimal wird. Also leite

{(\vec{d})}^{2}

nach

t

ab, dann hast du die Zeit.

prodomo aktiv_icon

17:29 Uhr, 30.10.2013

Sorry, hatte bei der Geschwindigkeit die Wurzeltaste wohl nicht richtig gedrückt. Dein Ergebnis passt. Der Abstand, in dem sie sich verpassen, muss damit auf

9,2

km korrigiert werden.

aventuriny aktiv_icon

18:01 Uhr, 30.10.2013

Danke für Ihre Antwort!

e)

habe ich nun gelöst, indem ich die Gerade des Flugzeugs und des Ballons gleichgesetzt und auf Schnittpunkte untersucht habe:

(\begin{matrix} 9,25 \\ 13 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0,25 \\ 0 \\ 0,05 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ - 2 \\ 1,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

9,25 + 0,25 s = - 7 + 3,5 t

13 = - 2 + 3 t

0,05 s = 1,5 - 0,25 t

0,25 s - 3,5 t = - 16,25

- 3 t = - 15

0,05 s + 0,25 t = 1,5

ergibt

s = 5

und

t = 5

setzt man die Werte in die jeweiligen Gleichungen erhält man den SP (10,5\13\0,25)

Nun verstehe ich nicht wie ich bei

f)

den Zeitpunkt mit dem kleinsten Abstand ermitteln soll. Wo setze ich den Vektor

d

ein, könnten sie das näher erläutern?

prodomo aktiv_icon

19:43 Uhr, 30.10.2013

Da der Ballon schon

10 : 03

startet, musst du zunächst das Flugzeug auf

10 : 03

zurücksetzen, also von

(- 7 | - 2 | 1,5)

um 2 Richtungsvektoren

(\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

zurück. Um

10 : 03

ist das Flugzeug bei

(- 14 | - 8 | 2)

. Das ist der neue Aufpunktvektor. Also Flugzeug:

\vec{x_{1}} = (\begin{matrix} - 14 \\ - 8 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3,5 \\ 3 \\ - 0,25 \end{matrix})

und Ballon

\vec{x_{2}} = (\begin{matrix} 9,25 \\ 13 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0,25 \\ 0 \\ 0,05 \end{matrix})

. Dabei läuft für beide die Zeit ab

10 : 03

im Minutentakt. Jetzt

\vec{d} = \vec{x_{2}} - \vec{x_{1}} = (\begin{matrix} 23,25 \\ 21 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 3,25 \\ - 3 \\ 0,3 \end{matrix})

. Damit wird

{(\vec{d})}^{2} = {(23,25 - 3,25 \cdot t)}^{2} + {(21 - 3 \cdot t)}^{2} + {(- 2 + 0,3 \cdot t)}^{2}

. Ausmultiplizieren und nach

t

ableiten.

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