Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Volumen Pyramide Herleitung

Volumen Pyramide Herleitung

Sonstiges

Tags: Geometrie, Herleitung, Pyramide, Volumen

Loobia aktiv_icon

12:25 Uhr, 25.03.2009

Hallo,
ich habe mal eine frage.
Wenn ich eine Pyramide mit der Grundfläche

a \cdot b

habe, wie leite ich

V = \frac{1}{3} a \cdot b \cdot h

her?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Herleitung der Kreiszahl Pi

Wie kann man die Kreiszahl

π

herleiten?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kugel - Oberfläche und Volumen

Wie berechnet man Kugeloberfläche und Kugelvolumen?

Kugel- und Würfelvolumen

Wie vergleicht man das Volumen einer Kugel mit dem eines Würfels?

Edddi aktiv_icon

13:21 Uhr, 25.03.2009

...ich zeig's dir an einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Die Pyramidenspitze befindet sich genau über dem Mittelpunkt des Quadrats.

Da alle Pyramiden mit der selben Grundfläche, egal ob rechteckig, 7-eckig, rund, elliptisch oder sonstwie geartet mit der gleichen orthogonalen Höhe, egal ob sie über der Mitte, oder ausserhalb der Grundfläche steht, dasselbe Volumen haben (man nennt sie dann allgemein Kegel), kannst du die Formel

V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h

für alle Kegel nehmen.
(Die Allgemeingültigkeit der Volumenformel resultiert aus dem Prinzip des Cavalieris)

Jetzt also zu unserem algebraisch berechenbaren Körper (Pyramide mit quadr. Grundfläche

(a \cdot a)

und Höhe

h

genau über dem Mittelpunkt des Quadrats):

Teilt man die Pyramide in der Hälfte der Höhe, erhalte ich im Oberteil eine ähnliche Pyramide mit genau den halben Abmaßen. Daraus folgt, das die Spitze

\frac{1}{8}

des Volumens der ganzen Pyramide hat.
Ich nenne dieses Volumen

V_{s}

(V-Spitze)

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

Der Pyramidenstumpf lässt sich jetzt wie folgt zerlegen:

-

in einen Quader mit Kantenlänge

\frac{a}{2}

und der Höhe

\frac{h}{2}

daraus folgt ein Volumen des Quaders:

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

- \in 4

Prismen, welche sich zu dem gleichen Quader wie eben genannt zusammenlegen lassen.
daraus folgt ein Volumen für die 4 Prismen:

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

- \in 4

Pyramiden-Viertel, welche genau mit der Pyramidenspitze übereinstimmen
daraus folgt ein Volumen der 4 Pyramiden-Viertel:

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

damit gilt, wenn alle Teilstücke wieder zusammengesetzt werden:

2 \cdot V_{S} + 2 \cdot V_{Q} = V_{P}

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

ist:

\frac{1}{4} \cdot V_{P} + 2 \cdot V_{Q} = V_{P}

2 \cdot V_{Q} = \frac{3}{4} \cdot V_{P}

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

ist:

a^{2} \cdot \frac{h}{4} = \frac{3}{4} \cdot V_{P}

a^{2} \cdot h = 3 \cdot V_{P}

\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h = V_{P}

w . z . B . w .

:-)

Loobia aktiv_icon

13:26 Uhr, 25.03.2009

Danke für die Bemühungen, aber mit einem Quadrat habe ich es schon, es geht darum, dass ich einen Rechteck habe und kann es der tochter meiner freundin nicht richtig erklären.

habe das gezeichnet...

Edddi aktiv_icon

13:34 Uhr, 25.03.2009

...na so hab' ich es nicht hergeleitet.

Schau dir mal meine Skizze im Anhang an.

wenn deine Form vom Quadrat abweicht, dann erklär es mit dem cavalierischen Prinzip.

Es geht auch mittels Integralrechnung...aber ich denke mal, du willst es geometrisch lösen.

:-)

Loobia aktiv_icon

13:43 Uhr, 25.03.2009

ich muss es geometrisch lösen, da sie noch nichts von interal versteht.

Edddi aktiv_icon

13:53 Uhr, 25.03.2009

....ja und was hält dich davon ab, die rechteckige Fläche in ein flächengleiches Quadrat zu transformieren?

Damit hast du dann eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Du musst jetzt nur zeigen, das die Flächeninhalte in allen Höhen ebenfalls immernoch identisch sind.

Dies geht gaaaaanz einfach mit dem Dreisatz oder Strahlensatz.

Damit zeigst du, das beide Pyramiden Volumenkongruent sind.

:-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

592175

592134

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?