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Wann wird die dritte Ableitung gleich null

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

therese aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.10.2009

Normalerweise untersucht man ja bei einem Wendepunkt ob die dritte Ableitung ungleich null ist, wann wird sie noch mal gleich null und was bedeutet das in der Kurvendiskussion

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Photon aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.10.2009

Sie wird gleich Null, wenn sie an der zu untersuchenden Stelle gleich Null wird. :-) Für den Graphen bedeutet das, dass es sich nicht um einen Wendepunkt handelt, sondern um einen Flachpunkt (Die Krümmung ist erst positiv, dann kurzzeitig Null und dann wieder positiv (oder negativ

\Rightarrow

Null

\Rightarrow

negativ). Man kann sich das so vorstellen, dass die zweite Ableitung an der Stelle

x_{0}

zwar einen Nullpunkt, aber keinen Nulldurchgang hat (so wie eine Normalparabel bei

x = 0)

. Dadurch gibt es keinen Vorzeichenwechsel und dementsprechend keine "Wendung" in der Krümmung.

michaL aktiv_icon

03:41 Uhr, 15.10.2009

Hallo zusammen,

@Photon: Das ist nicht unbedingt richtig so. Gegenbeispiel:

f : x \to x^{5}

. Es gilt:

f ‴ (x) = 60 x^{2}

und somit

f ‴ (0) = 0

. Trotzdem liegt bei

x = 0

ein Wendepunkt vor.

@Therese: Eigentlich mag ich diese "hinreichende Bedingung" nicht. Wichtig ist bei den Wendepunkten nur, dass die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, etwa von + nach -, was bedeuten würde, dass die erste Ableitung erst steigt, dann fällt (Übergang von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt).
Das findest du heraus, in dem du die Grenzwerte für

x \to x_{w}^{-}

und

x \to x_{w}^{+}

untersuchst, also ob sich der Graph der zweiten Ableitung auf verschiedenen Seiten der x-Achse befindet oder der gleichen.
Alternativ kannst duch auch immer weiter ableiten, bis sich zum ersten Mal eine Ableitung ungleich Null ergibt (nuss es geben, sonst hast du die Nullfunktion vorliegen, die hat keine Wendepunkte). Ist die Ableitung das erste Mal ungleich Null bei einem ungeraden Index, so liegt ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor, sonst nicht.

Mfg Michael

Rentnerin

11:03 Uhr, 15.10.2009

Hallo,

"... muss es geben, sonst hast du die Nullfunktion vorliegen ..."

Wie ist das mit der Funktion

f : R \to R

mit

f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}} \forall x \neq 0

und

f (0) = 0

an der Stelle

x_{0} = 0

?

Gruß Rentnerin

michaL aktiv_icon

11:26 Uhr, 15.10.2009

Hallo Roberta,

ich gebe zu, dass ich von einer analytischen Funktion ausgegangen war, denn sonst könnte man ja nicht beliebig weiter ableiten. Dann wäre aber die Potenzreihe um den potentiellen Wendepunkt die Nullreihe. Wenn die Funktion aber analytisch ist, stimmt sie mit ihrer Potenzreihe überein, was dein Gegenbeispiel nicht tut, jedenfalls soweit ich das erkennen kann (Typo?).

Mfg Michael

Rentnerin

12:05 Uhr, 15.10.2009

Warum kann man die angegebene Funktion an der Stelle 0 nicht "beliebig weiter" ableiten?

michaL aktiv_icon

13:41 Uhr, 15.10.2009

Hallo Roberta,

tja, da muss ich meine Worte schlucken. Sieht danach aus, als wären die Ableitungen in Null stetig ergänzbar. Muss darüber wohl noch mal nachdenken. Danke für den Tipp.

Mfg Michael

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