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Warum Definitionserweiterung Sin am Einheitskreis
Schüler
Tags: cos, Einheitskreis, sin, winklefunktionen
 
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Hallo, die bisherige "alte" Definition von sinus und cosinus als Seitenverältnisse von Gegenkathete/Hypotenuse bzw. Ankathete/Hypotenuse leuchtet mir ein. Vor allem erkenne ich hier auch einen Nutzen bei einem sinus von 30° erhalte ich und weiß damit, dass die Gegenkathete halb so lang ist wie die Hypotenuse. Ich kann damit also die (noch unbekannten) Seiten eines Dreiecks ermitteln. Sinus und Cosinus haben also einen hohen praktischen Nutzen bei der "Dreiecksberechnung". Bei der Definitionserweiterung - sinus und cosinus werden am Einheitskreis definiert - ist mir der praktische Nutzen jedoch nicht klar. Ok, ich kann jetzt für beliebige Winkel einen sinus ermitteln. Aber was nützt es mir, wenn ich weiß das der sinus von 210° ist. Was nützt mir solch eine negative Angabe? Eine Länge kann ich damit ja nicht sinnvoll ermitteln. Es gibt ja keine Seite, die mal so lang ist wie die Hypotenuse. Die Längen eines Dreiecks sind ja per Definition immer positiv. Wo kann ich negative Werte von sinus und cosinus also in der Praxis sinnvoll einsetzen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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anonymous 15:04 Uhr, 29.04.2017 |
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Hallo Sei gewiß, Schule hat einen Sinn. Manchmal erschließt einem erst nach Jahren, welchen. Aber sei gewiß, wenn du tüchtig lernst, dann wirst du nach und nach erkennen, dass das ein oder andere sehr sinnvoll und nützlich war. Erinnerst du dich noch an die Grundschule? Vielleicht hast du da gefragt: 'Wozu soll ich Worte zu Sätzen zusammensetzen? Ich kann doch schon Buchstaben schreiben, und aus Buchstaben Worte zusammensetzen. Wozu also das ganze noch verkomplizieren?' Inzwischen wirst du gelernt haben, dass es manchmal sehr hilfreich ist, sinnvolle, auch komplexere Dinge in Sätze und Aufsätze zu fassen, um . in onlinemathe sich untereinander auch über kompexere Dinge - wie . trigonometrische Funktionen und Einheitskreise - zu unterhalten und zu verständigen. Und sei gewiß auch der sinus hat sehr viel weitreichendere Funktionen, als nur Längen im Dreieck zu berechnen. Die Lehrer und er Schulplan führt dich langsam aber Schritt für Schritt in die Lage, damit umzugehen, und auch komplexere Dinge zu berechnen, wie nur Dreiecke. Sei geduldig, lerne eifrig - und du wirst sehen, dann macht es auch Spaß, nicht nur Buchstaben zu pinsel, sondern diese zu Worten zusammen zu fassen, darüberhinaus Sätze zu bilden, darüber hinaus Texte zu verfassen, darüberhinaus auch Dreiecke zu berechnen, darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen zu beherrschen, und sei gewiß, darauf aufbauend gibt es noch viele, viele anspruchsvollere Themen, Sphären und Ansprüche, die wert sind und voranbringen, wenn sie erst beherrscht, verstanden und die Freude daran entdeckt sind. Einen kleinen Ausblick zum sinus, wie er dir in naher Zukunft begegnen wird, kann ich dir ja schon mal geben: Denk an einen Motor. Der Motor dreht sich. Der Motor dreht sich, weil ein Kolben hin- und her-bewegt wird. Schau dir das Bild an, das ich dir aus dem Internet gesucht habe. Dort ist ein Winkel erwähnt. Du kannst dir sicherlich leicht vorstellen, dass sich der Kolben bewegt, wenn sich der Motor dreht, also wenn sich der Winkel ändert? Im dargestellten Moment wird der Winkel vielleicht so etwa 35° betragen. Dann steht der Kolben in der Stellung, wie eben dargestellt. Aber der Motor wird sich doch weiterdrehen. Kannst du dir vorstellen, wo der Kolben steht, wenn der Motor auf Winkel 40° dreht? Richtig, der Kolben bewegt sich ein wenig nach unten. Kannst du dir vorstellen, wo der Kolben steht, wenn der Motor auf Winkel 90° steht? Richtig, der Kolben steht noch weiter unten, auf halber Höhe seines Hubbereichs. Kannst du dir vorstellen, wo der Kolben steht, wenn der Motor auf Winkel 180° steht? Richtig, der Kolben steht sehr viel weiter unten. So weit unten, wie es nicht mehr weiter geht. Technisch spricht man dann vom "Unteren Totpunkt, UT". Kannst du dir vorstellen, wo der Kolben steht, wenn der Motor auf Winkel 200° steht? Richtig, der Kolben hat sich jetzt wieder ein klein wenig nach oben bewegt. Kannst du dir vorstellen, wo der Kolben steht, wenn der Motor auf Winkel 300° steht? Richtig, der Kolben hat sich noch weiter nach oben bewegt. Aber der Motor wird sich immer weiter drehen, und drehen und drehen und drehen. Irgendwann wird er also einen Winkel 660° 1020° 1380° 1740° . überstreichen und annehmen und weiter wachsen. Wenn du aufmerksam mitdenkst, dann wirst du erkennen, dass all diese genannten Winkelstellungen eigentlich ein und das selbe sind, und alle zur selben Stellung des Kolbens führen. Und wenn du jetzt aufmerksam mitgedacht hast, dann wirst du erkennen, dass es schon für dieses einfache Gedankenspiel sinnvoll und hilfreich war, nicht nur Winkel zwischen 0° und 90° zu betrachten, sondern weit, weit darüber hinaus. Du wirst in Bälde lernen, dass es sinnvoll ist, solche Dinge im Einheitskreis zu betrachten, und eigentlich ganz einfach zu berechnen sind, wenn man sich einfach mal klar gemacht hat, dass der Motor weiter und weiter dreht, riesige oder auch negative Winkel überwindet, und dennoch einfach zu den selben vergleichbar einfachen Stellungen und Zuständen führt, die wir schon im Bereich 0° bis 90° kennengelernt und zu beherrschen gelernt haben. :-)  |
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anonymous 15:16 Uhr, 29.04.2017 |
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Aaaahh..., viel besser. Schau mal . unter: www.kfz-tech.de/Biblio/Verbrennung/Hubkolbenmotor.htm Dort kannst du das Ganze viel anschaulicher mal in Bewegung als Video anschauen...  |
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Lieber Kreadoor, Danke für deine sehr ausführliche Erläuterung und den Hinweis zur Rotation eines Kolbens. Zusammenfassend könnte man also sagen: Ohne die erweiterte Definition des sinus und cosinus für alle Winkel könnte man also keine Rototionsbewegungen beschreiben, richtig? |
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anonymous 12:48 Uhr, 02.05.2017 |
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Ich will nicht behaupten, dass es nicht geht. Aber es ist sicherlich für viele Aufgabenstellungen vorteilhaft, einfacher, logisch und vollständig, den gesamten unbeschränkten Winkelbereich einheitlich zu beschreiben und zu nutzen. |
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