Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Warum Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt?

Warum Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: 3.Grad, Funktion, Grad, Wendepunkt

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Jonasm

Jonasm aktiv_icon

20:05 Uhr, 14.09.2010

Antworten
Hallo zusammen,

Ich bin neu hier und wollte mal fragen, ob mir jemand von euch vllt. sagen bzw. beweisen kann, wieso jede Funktion 3. Grades einen Wendepunkt haben muss.

Wäre super
Danke schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

20:12 Uhr, 14.09.2010

Antworten
f(x)=ax3+bx2+cx+d mit a≠0
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b=0⇔6ax=-2b⇔x=-b3a⇒ für a≠0 gibt es immer eine Lösung
f'''(x)=6a≠0 für a≠0
Antwort
heimdall

heimdall aktiv_icon

20:16 Uhr, 14.09.2010

Antworten
Eine Funktion dritten Grades hat die Form

f(x)=ax3+bx2+cx+d mit a≠0
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b=0

f''(x)=0=6ax+2b⇔
6ax=-2b⇔
x=-2b6a
Es gibt also immer eine Nullstelle von f''(x)

f'''(x)=6a ist immer ≠0 da a≠0, damit f(-2b6a)=6a≠0, also gibt es immer einen Wendepunkt.

edit: zu spät :(
Antwort
xx1943

xx1943 aktiv_icon

20:18 Uhr, 14.09.2010

Antworten
Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet

f(x)=a*x^3+b*x^2+cx+d      mit a≠0

Die Funktion hat einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

Die 2. Ableitung f''(x)=6a⋅x+2b ist eine lineare Funktion, die an der Stelle xW=-b3a eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. An dieser Stelle der Rechnung wird die Voraussetzung a≠0 benötigt.

Durch Einsetzen von xW∈f(x) kannst Du dann noch yW=f(xW) berechnen.


Man kann übrigens sgar weiterhin beweisen, dass jede Funktion 3. Grades punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist.
Frage beantwortet
Jonasm

Jonasm aktiv_icon

21:25 Uhr, 14.09.2010

Antworten
Wow danke,
da kann man sich glatt dran gewöhnen,
hat mir super geholfen, hätte ich aber eig auch selbst draufkommen können.

Vielen Dank