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Wendepunkte

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Wendepunkt

jade1704 aktiv_icon

09:03 Uhr, 03.05.2010

Hab Schwierigkeiten mit der berechnung von Wendepunkten.
Und zwar wegen der sogennanten hinreichenden

u

notwendigen Bedingeungen , die da heißen sollen:

Wenn f"(x0)= 0 und f"(x) bei

x 0

einen Vorzeichenwechsel hat , dann ist

x (0)

Wendestelle.
f"(x0)= 0 und die 3. Ableitung

x (0)

ist ungleich

0,

dann ist

x 0

eine Wendestelle.

Ja was denn nun ?

Hat irgendwas damit zu tun das

f

mal zweimal , mal dreimal differenzierbar ist ? Was Was hat das zu bedeuten ?

Mal ein Beispiel : Bestimmen sie die Wendepunkte

f (x) = 3 x -

1/4x³

f

(x) = 3 - \frac{3}{4} x ²

f"(x)

= \frac{6}{4} x

3. Ableitung

= \frac{6}{4}

So, f"(x)

= 0

\frac{6}{4} x = 0

x = 0 : \frac{6}{4}

x = 0

wo kommt jetzt der vorzeichenwechsel ins Spiel? Wenn ich für

x 0

in die Funktion einsetzte und nach

y

auflöse ?

y = \frac{6}{4}

mal 0

y = 0

also kein Vorzeichenwechsel ? Kein Wendepunkt ?

3. Ableitung

= \frac{6}{4}

also

x = \frac{6}{4}

also ungleich 0 ?
Was fange ich denn nun damit an? Hab ich hier einen Wendepunkt und wenn ja , an welcher Stelle?

Liebe Grüße, jade

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

09:44 Uhr, 03.05.2010

Wendepunkte
notwendige Bedingung:

f'' (x) = 0

dann gibts zwei Arten von hinreichenden Bedingungen
entweder

f''' (x) \neq 0

oder Vorzeichenwechsel von

f''

an der Wendestelle

x_{0}

in deinem Beispiel

f'' (x) = \frac{6}{4} x

f'' (x) = 0 \Rightarrow x = 0

f''' (0) = \frac{6}{4} \neq 0

damit ist die Wendestelle bei

x_{0} = 0

den y-Wert des Wendepunkts erhält man mit

f (x)

hier also

y_{0} = f (0) = 0

Wendepunkt

W (0 | 0)

statt mit der dritten Ableitung kann man die hinreichende Bedingung auch mit dem Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung erfüllen
bei

x = 0

ändert sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung

jade1704 aktiv_icon

09:56 Uhr, 03.05.2010

Hallo Michael, erst einmal vielen lieben Dank für deien Antwort.

Also hab ich zumindest schon mal richtig gerechnet, OK. Aber das mit dem Vorzeichenwechsel ist mir immer noch nicht ersichtlich. Kann da nicht erkennen wo es von plus nach minus oder umgekehrt wechselt, wird das ersichtlich wenn ich den

x

oder

y

Wert einsetze und wenn ja, wo muß ich sie einsetzen ?
Oder findet ab dem Wert 0 grundsätzlich ein Vorzeichenwechsel statt ?

Liebe Grüße, jade

michael777 aktiv_icon

11:37 Uhr, 03.05.2010

bei einfachen Nullstellen gibts immer einen Vorzeichenwechsel, wie im Beispiel
bei doppelten Nullstelen gibts keinen Vorzeichenwechsel

z . B

. bei

x^{2}

oder

{(x - 1)}^{2}

du kannst ja

x_{0} - h

und

x_{0} + h (z . B

. mit

h = 0.1)

_in

f'' (x)

einsetzen und schauen, ob die beiden Funktionswerte

f (x_{0} + h)

und

f (x_{0} - h)

unterschiedliche Vorzeichen haben.
Den Vorzeichenwechsel als hinreichende Bedingung verwendet man meist nur, wenn die dritte Ableitung zu aufwändig ist.

jade1704 aktiv_icon

09:41 Uhr, 09.05.2010

Hallo Michael, vielen Dank, jetzt ist es klar

!!!

Liebe Grüße, jade

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