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Wie funktioniert das Ausklammerungsverfahren und..

Schüler Fachgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ausklammerungsverfahren, Ganzrationale Funktionen, Polynomdivision

Jessy981

16:48 Uhr, 04.11.2009

Moin..:-)
Nächste Woche Freitag schreiben wir einen Mathe-Test und leider verstehe ich die folgenden Beispiele nicht,weil ich nicht weiß, mit welcher Rechnung man zu den Ergebnissen kommt..
Ich fange mal mit dem Ausklammerungsverfahren an..

Das Ausklammerungsverfahren soll man anwenden, wenn kein Absolutglied im Funktionsterm auftaucht.

Die Beispielfunktion lautet: f(x):2x³

+

8x²

- 10 x

Rechnung:

0 =

2x³

+

8x²

- 10 x - \to

hier müsste doch ein Betragstrich mit der REchnung,die man durchführen möchte stehen,nur welche? durch x??

0 =

x(2x²

+ 8 x - 10)

\Rightarrow x 1 = 0

--->wie kommt man darauf? wie soll man das berechnen?

2x²

+ 8 x - 10 = 0 | : 2

x²

+ 4 x - 5 = 0

und anschließend die p/q-Formel anwenden

\Rightarrow x 2 = 1 x 3 = - 5

\frac{x}{y}

Schnittpunkte mit der Abzissenachse:

S 1 (\frac{0}{0}) S 2 (\frac{1}{0}) S 3 (- \frac{5}{0})

\to

die x-Werte müssen also links stehen und 0 rechts,weil das die Nullstellen sind?!

jetzt die Polynomdiviosion, die ich überhaupt nicht verstehe.. wäre echt nett wenn mir das mal jemand ganz genau erklären/beschreiben könnte..:-)

Die Polynomdivision ist anwendbar, wenn das Substitutions- und Ausklammerungsverfahren nicht anwendbar und eine Nullstelle Tieler des Absulutgliedes ist (??)

Rechnung:

0 =

x³

+

3x²

- 13 x - 15

\Rightarrow x 1 = - 1 - - \to

wie kommt man drauf???

den Rest der Rechnung verstehe ich auch gar nicht,weil ich da nicht durchblicke..

(x³

+

3x²

- 13 x - 15) : (x + 1) =

x²

+ 2 x - 15

-(x³

+

x²)
2x²

- 13 x

-(2x²

+ 2 x)

- 15 x + 15

- (- 15 x - 15)

0 =

x²

+ 2 x - 15

x \frac{2}{3} = - 1 +

Wurzel aus

1 + 15

x 2 = - 1 + 4 = 3

x 3 = - 1 - 4 = - 5

Ich bedanke mich schon im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rammi182 aktiv_icon

20:00 Uhr, 04.11.2009

Hier mal eine Hilfestellung zu dem 1. Beispiel (beim 2.weiß ich nicht genau was du meinst)

Die Beispielfunktion lautet: f(x):2x³ + 8x² -10x

Rechnung:
0= 2x³ + 8x² -10x-→ hier müsste doch ein Betragstrich mit der REchnung,die man durchführen möchte stehen,nur welche? durch x??

Naja, das ist schwierig hier. Du hebst ja das x heraus (Herausheben müsstest du schon in der Unterstufe gelernt haben) - Das ist keine "Rechnung" sondern nur eine andere Darstellungsart eines Terms.

0= x(2x² +8x-10)
→x1=0 --->wie kommt man darauf? wie soll man das berechnen?

Nicht rechnen - logisch denken!
Ein Produkt ist gleich 0 wenn mindestens ein Faktor gleich 0 ist.
In diesem Fall muss also entweder 0 oder (2x²+8x-10) gleich 0 sein somit x1=0

2x² +8x-10=0|:2
x² +4x-5=0

und anschließend die p/q-Formel anwenden
→x2=1x3=-5

Richtig!

Schnittpunkte mit der Abzissenachse: S1(0/0) S2(1/0) S3(-5/0)
→ die x-Werte müssen also links stehen und 0 rechts,weil das die Nullstellen sind?!

Die x-Werte stehen immer links bzw. oben und die y-Werte rechts bzw. unten!
In diesem Fall stimmen deine Punkte, weil die y-Koordinate muss ja 0 sein, weil es ja um den Schnittpunkt mit der x-Achse (g: y=0) geht.

Hoffe ich konnte helfen...

Jessy981

21:33 Uhr, 04.11.2009

achso! vielen Dank :-) jetzt verstehe ich das :-)!!
hoffe, dass mir noch jemand die Polynomdivision erläutern kann :-)

LG,Jessy

rammi182 aktiv_icon

21:55 Uhr, 04.11.2009

"Polynomdivision ist eine der Techniken zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen - neben der pq-Formel, dem Auflösen nach x, x ausklammern, Substitution oder eben Polynomdivision mit vorherigem Raten einer Nullstelle.Daneben wird die Polynomdivision auch gerne gebraucht, um die Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen zu bestimmen."

Kann man also eig. zum Nullstellen finden immer anwenden (bei Polynomen), nur eine Nullstelle muss bekannt sein bzw. muss man zuerst anderwärtig herausfinden.

Bei deinem Beispiel kommt man auf das x1 einfach durch ausprobieren.
Die Polynomdivison funktioniert wie eine "normale" Division.

(x³ + 3x² -13x-15):(x+1)= ?
Du schaust wieoft du (x+1) subtrahieren musst, damit die höchste vorkommende Potenz beim Dividenten nach anschließender Subtraktion wegfällt => x² mal | (x+1)*x² = x³ + x²
Dann die Subtraktion: (x³ + 3x² -13x-15) - (x³ + x²) = (2x²-13x-15)
übrig bleibt:
(2x²-13x-15):(x+1)=x²
Wieder das selbe: damit 2x² wegfällt musst du (x+1) mal 2x nehmen | (x+1)*2x = 2x²+2x | Subtraktion: (2x²-13x-15) - (2x²+2x) = -15x+15
(-15x+15):(x+1)=x²+2x
usw.

Alles klar?

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