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Winkel & Skalarprodukt in einem Polynomraum

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Cosinus, Norm, polynom, Skalarprodukt, Vektorraum, Winkel

byjenseirik aktiv_icon

15:21 Uhr, 31.07.2017

Hallo zusammen.

Ich habe einen Polynom-Raum aller reellen Polynome mit folgenden Skalarprodukt gegeben:

\forall p, q \in P : < p, q > = \int_{0}^{1} p (x) \cdot q (x) d x

Sei nun

p_{n} (x) = x^{n}

und

p_{m} (x) = x^{m}

mit

n, m \in ℕ

beliebig.

Ich soll den Winkel zwischen

p_{n} (x)

und

p_{m} (x)

berechnen. Gegeben ist aber folgender Hinweis:
- Berechnen sie zuerst

{cos}^{2} (φ)

und damit

{sin}^{2} (φ)

. Daraus ergibt sich ein Ausdruck für

sin (φ)

.

Ich verstehe nun nicht wirklich, wozu dieser Hinweis dient, denn ich weiss, dass folgendes gilt:

φ = {cos}^{- 1} (\frac{< p_{m} (x), p_{n} (x) >}{| p_{m} (x) | \cdot | p_{n} (x) |}) = {cos}^{- 1} (\frac{\sqrt{(2 n + 1) \cdot (2 m + 1)}}{n + m + 1})

Ich habe hier fast alle Berechnungsschritte übersprungen. Meine Frage ist lediglich, wozu ich denn hier diesen Hinweis benutzen soll?

Ich kenne natürlich die Beziehung

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ) = 1

und daraus könnte ich ja folgendes herleiten:

sin (φ) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (φ)} = \sqrt{1 - {(\frac{< p_{m} (x), p_{n} (x) >}{| p_{m} (x) | \cdot | p_{n} (x) |})}^{2}}

= \sqrt{1 - (\frac{(2 n + 1) (2 m + 1)}{{(n + m + 1)}^{2}})}

.
Dies erscheint mir aber wesentlich komplizierter, und der Term wir meines Erachtens ebenfalls nicht einfacher.
Kann mir jemand erklären, wo bei mir hier der Denkfehler liegt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Skalarprodukt
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

17:27 Uhr, 31.07.2017

Hast du die Aufgabe genau gelesen? ist vielleicht nicht nach dem Winkel sondern nach dem sin(&tilde;phi) gefragt.
Gruß ledum

Roman-22

17:43 Uhr, 31.07.2017

Vielleicht ist auch nur ein möglich kompakter Ausdruck gesucht.

Immerhin ist

\sqrt{1 - \frac{(2 n + 1) \cdot (2 m + 1)}{{(m + n + 1)}^{2}}} = | \frac{m - n}{m + n + 1} |

byjenseirik aktiv_icon

18:10 Uhr, 31.07.2017

Dann habe ich wohl irgendwo beim Kürzen einen Fehler gemacht, damit hat es sich natürlich erledigt. Danke euch!

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