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Winkel in Uhren

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: uhrenzeiger, Winkel

Jonyy aktiv_icon

18:07 Uhr, 02.11.2010

Hallo
Ich muss herausfinden, wann (um welche Uhrzeit) in einer Uhr der Minutenzeiger, Stundenzeiger und Sekundenzeiger alle den selben Abstand zueinander haben, sprich, den Winkel 120° bilden.
Ich weiss, dass eine Sekunde (oder auch eine Minute) den Winkel 6° bilden. Der weitere Verlauf ist mir allerdings nicht so klar. Ich brauche die Zeit so genau wie möglich (mindestens auf die Sekunde) ;-)

Wäre froh für Antworten (am besten schon bis morgen (sorry, ist etwas kurzfristig)).
Nur die Lösung würde auch schon reichen.

vielen Dank schon im Voraus..

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

07:45 Uhr, 03.11.2010

..Anfangen tut alles mit

00 : 00 : 00

Nun die Kreisgeschwindigkeiten der Zeiger ermitteln:

f_{S} = \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{s}

und damit

ω_{S} = \frac{2 \cdot π}{60} \cdot \frac{1}{s}

f_{M} = \frac{1}{3600} \cdot \frac{1}{s}

und damit

ω_{S} = \frac{2 \cdot π}{3600} \cdot \frac{1}{s}

f_{H} = \frac{1}{43200} \cdot \frac{1}{s}

und damit

ω_{S} = \frac{2 \cdot π}{43200} \cdot \frac{1}{s}

Der Winkel eines Zeigers zum Zeitpunkt

t

ist somit:

φ_{S} (t) = ω_{S} \cdot t = \frac{t}{60}

φ_{M} (t) = ω_{S} \cdot t = \frac{t}{3600}

φ_{H} (t) = ω_{S} \cdot t = \frac{t}{43200}

Die Winkeldifferenz soll

\frac{2}{3} \cdot π

betragen. Es muss also:

φ_{M} (t) = φ_{H} (t) \pm \frac{2}{3} \cdot π

für

φ_{M} (t) = φ_{H} (t) + \frac{2}{3} \cdot π

muss dann

φ_{M} (t) = φ_{S} (t) - \frac{2}{3} \cdot π

für

φ_{M} (t) = φ_{H} (t) - \frac{2}{3} \cdot π

muss dann

φ_{M} (t) = φ_{S} (t) + \frac{2}{3} \cdot π

...daraus sollte man die Zeit

t (\in

Sekunden) berechnen können.

;-)

maxsymca

10:56 Uhr, 03.11.2010

Ich seh nicht, wie 3 lineare Funktionen einen periodisch wiederkehrenden Aspekt beschreiben könnten...

Edddi aktiv_icon

12:02 Uhr, 03.11.2010

...eine Periode kommt unter der Berücksichtigung

φ_{S} (t) = φ_{S} (t + n \cdot 60)

zustande.

;-)

Jonyy aktiv_icon

15:16 Uhr, 03.11.2010

Vielen Dank. Könntest du mir auch noch die Lösung schreiben. Der Lösungsweg ist irgendwie immer noch etwas zu hoch für mich ;-) vielen Dank.

Edddi aktiv_icon

07:35 Uhr, 04.11.2010

...es gibt in jeder Stunde 2 Möglichkeiten, in denen der Minutenzeiger in einem Winkel von

120

bzw 240° zum Stundenzeiger steht. Und der Sekundenzeiger findet immer 'ne entsprechende Stellung (innerhalb einer Minute) dazwischen. Also sollte es

24

Uhrzeiten geben.

Die erste ausgehend von

00 : 00 : 00

ist folgende:

Nämlich wenn der Minutenzeiger etwas über

20

Miunten ist, dann ist der Stundenzeiger kurz hinter der

12

und der Sekundenzeiger etwa ungefähr bei der

8 .

Der Winkel des Minutezeigers ist wie vor schon dargestellt:

φ_{M} (t) = \frac{2 \cdot π}{60 \cdot 60} \cdot t

Der Stundenzeiger ist dann bei

φ_{H} (t) = \frac{φ_{M} (t)}{12} = \frac{2 \cdot π}{12 \cdot 60 \cdot 60} \cdot t

Nun muss:

φ_{H} (t) + \frac{2}{3} \cdot π = φ_{M} (t)

φ_{H} (t) = \frac{φ_{M} (t)}{12}

\frac{φ_{M} (t)}{12} + \frac{2}{3} \cdot π = φ_{M} (t)

\frac{2}{3} \cdot π = \frac{11}{12} \cdot φ_{M} (t)

φ_{M} (t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{11} \cdot π = \frac{8}{11} \cdot π

Dies ist der Winkel des Minitenzeigers.

Damit ist der Stundenzeiger bei

φ_{H} (t) = \frac{φ_{M} (t)}{12} = \frac{8}{121} \cdot π

Den Sekundenzeiger kannst du analog berechnen.

Nun zur Zeit.

Es ist ja:

φ_{M} (t) = \frac{8}{11} \cdot π

\frac{2 \cdot π}{60 \cdot 60} \cdot t = \frac{8}{11} \cdot π

t = \frac{4}{11} \cdot (60 \cdot 60) = \frac{4}{11}

Stunden

Nach

\frac{4}{11}

Stunden, bzw.

\frac{240}{11}

Minuten

(\approx 21,818181 . .

. Minuten) bzw. nach

\frac{14400}{11}

Sekunden (ca.

1309,090909 .

. Sekunden) haben wir die erste Konstellation.

Macht also

00 : 21 : 49 ∴ . .

. Uhr.

Für den 2. Fall rechnest du halt mit:

φ_{H} (t) + \frac{4}{3} \cdot π = φ_{M} (t)

Dies ergibt die beiden Fälle zw. 0 und 1 Uhr.

Das heisst, du hast also 2 Winkel für

φ_{M} (t)

die

22

anderen Lösungen ergeben sich jeweils aus der Drehungs-Transformation!!!
Denn die Zeiger behalten ja auch ihre Konstellation zwischen 1 und 2 Uhr, 2 und 3Uhr usw. genau bei.

Leider kann man hier nicht einfach nur

\frac{π}{6}

zuaddieren.

Die erste Lösung ergibt einen Stunden-Winkel

\frac{8}{121} \cdot π

und liegt damit zwichen 0 und 1 Uhr

(0 < φ_{H} (t) < \frac{π}{6}) .

Die zweite Lösung wird im gleichen Bereich liegen.

Wir brauchen also noch Lösungen für

(1 \cdot \frac{π}{6} < φ_{H} (t) < 2 \cdot \frac{π}{6}), (2 \cdot \frac{π}{6} < φ_{H} (t) < 3 \cdot \frac{π}{6}), ..., (11 \cdot \frac{π}{6} < φ_{H} (t) < 12 \cdot \frac{π}{6})

...aus Zeitmangel muss ich jetzt erstmal passen, vielleicht helfen dir aber meine Ansätze weiter.

;-)

Jonyy aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.11.2010

ok, vielen Dank!

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