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Winkel zwischen 2 Seitenflächen in einer Pyramide

Universität / Fachhochschule

Tags: Epsilon, Pyramide, Pyramidenstumpf, Winkel

exitus aktiv_icon

22:56 Uhr, 10.06.2013

Guten Tage miteinander

Ich möchte den Winkel zwischen zwei nebeneinander liegenden Seitenflächen in einer Pyramide berechnen.
Meines Wissen heisst dieser

ε_{2}

(quelle: www.mathematische-basteleien.de/pyramide.htm )

Leider helfen mir die Formeln dort nicht weiter, ich bekomme immer einen Wert um

57.29564

Mit viel Hilfe von Wikipedia habe ich mir einen eigenen Lösungsweg zusammengebastelt. Bei diesem komme ich aber auch immer auf eine ähnliche Zahl.

Nun bitte ich euch, meinen Lösungsansatz auf Fehler zu überprüfen.

Zu meinem Wissenstand: Ich habe die "normale" Grundbildung mit ein bisschen Trigonometrie.

gegeben
Höhe=h
Seite

a = a

Seite

b = b = a

(Grundfläche ist Quadratisch)

gesucht
winkel epsilon=gesuchter Winkel=gW

1. Schritt
Auf der quadratischen Grundfläche wird die Diagonale (Seite

c = c)

ausgerechnet.

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = c

2. Schritt
Mithilfe von einer Seite und der Höhe wird die wahre Höhe(=Wh) der Pyramdie ausgerechnet.

\sqrt{b^{2} + h^{2}}

=wH

3. Schritt
Durch die wahre Höhe und einer Seite

(a)

kann man den Eckwinkel (Winkel Alpha=Wa) der Seitenfläche berechnen.

{tan}^{- 1}

(Wh/a) =Wa

4. Schritt
Durch den Winkel Alpha und eine Seite

(a)

die wahre Seitenlänge(Seite

a 1 = a 1)

ausrechnen.
sin(Wa)*a=a1

5. Schritt
Mit der Diagonalen und den beiden wahren Längen

(a 1

und

b 1)

den gesuchten Winkel (gW) ausrechnen.

cos (\frac{a 1^{2} + b 1^{2} - c^{2}}{2 \cdot a 1 \cdot b 1}) \cdot \frac{180}{π}

=gW

Ich habe die Vermutung, dass ich entweder eine falsche Vermutung angestellt (rechtwinkligkeit) oder eine Formel falsch umgestellt (Schritt

5)

habe. Aber ich finde den Fehler einfach nicht.

Hoffentlich konnte ich mit den Bildern mein Problem und meinen Lösungsansatz einigermassen schildern konnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

exitus aktiv_icon

22:57 Uhr, 10.06.2013

noch als anhang ein weiteres Bild

diese Frage wurde noch in matheboard gepostet
http//www.matheboard.de/thread.php?postid=1806587#post1806587

edit:
Das 2. Bild, ist das fehlerhafte Bild auf das Bezug genommen wurde.

Edddi aktiv_icon

07:58 Uhr, 11.06.2013

. .

. wie du mit den Variablen a und

h

auf einen festen Winkel kommst ist mir unklar, da der Winkel doch von a und

h

abhängig sein sollte.

Um den Winkel zwischen zwei anliegenden Flächen zu bekommen, sollte man den Winkel der Normalen dieser Flächen untersuchen. Dann kommt's noch drauf an, ob die Pyramide eine gleichförmige ist

(h

liegt über dem Mittelpunkt der quadr. Grundfläche)

In diesem Fall so:

Die Normalen erhält man aus dem Kreuzprodukt von jeweils 2 Seitenlinien.

\vec{n_{1}} = (\begin{matrix} a \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} \\ h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - a \cdot h \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix})

\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{a}{a} \\ h \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ a \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - a \cdot h \\ 0 \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix})

Und der Winkel zw. diesen Normalen mit:

cos (α) = \frac{\vec{n_{1}} ⋆ \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |}

cos (α) = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ - a \cdot h \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} - a \cdot h \\ 0 \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 0 \\ - a \cdot h \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - a \cdot h \\ 0 \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) |}

cos (α) = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ - a \cdot h \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} - a \cdot h \\ 0 \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 0 \\ - a \cdot h \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - a \cdot h \\ 0 \\ \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}) |} = \frac{\frac{a^{4}}{4}}{a^{2} \cdot h^{2} + \frac{a^{4}}{4}} = \frac{1}{1 + {(\frac{2 \cdot h}{a})}^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2} + 4 \cdot h^{2}}

Der Winkel der Flächen wäre dann

phi=180°

- α =

180°

- a r c c o s (\frac{a^{2}}{a^{2} + 4 \cdot h^{2}})

Beispiel:

Pyramide

a = 2

und

h = 10

φ =

180°

- a r c c o s (\frac{2^{2}}{2^{2} + 4 \cdot 10^{2}}) = 90,567 . .

. °

Erwartet werden Winkel zwischen 90° (unendliche Höhe) und 180° (unendl. große Grundfläche)

;-)

Matlog aktiv_icon

10:46 Uhr, 11.06.2013

In Edddis Rechnung liegt die Pyramidenspitze ja in der Mitte über der Grundfläche (regelmäßige Pyramide).

Aus Deinen Bildern und Rechnungen schließe ich, dass bei Dir die Spitze genau über einer Ecke des Grundflächenquadrats liegen soll.
Mit Hilfe der Normalenvektoren ergibt sich in diesem Fall

cos (α) = \frac{- a^{2}}{a^{2} + h^{2}}

Mit konventioneller Trigonometrie ist das mit deutlich mehr Arbeit verbunden, geht aber auch.
Zunächst mal ein großes Lob: Du hast den gesuchten Winkel hervorragend lokalisiert. Man spricht immer so leicht vom "Winkel zwischen zwei Flächen (Ebenen)", ohne genau zu überlegen, wo dieser Winkel überhaupt liegt. (Nur der Punkt im gesuchten Winkel im ersten Bild hat mich anfangs sehr verwirrt.)

Bis Schritt 5 konnte ich Deine Rechnungen nachvollziehen.
Was soll jetzt der Faktor

\frac{180}{π}

? Umwandlung vom Bogenmaß ins Gradmaß?
Richtig müsste es heißen

cos (g W) = \frac{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} - c^{2}}{2 \cdot a_{1} \cdot b_{1}}

oder

{cos}^{- 1} (\frac{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} - c^{2}}{2 \cdot a_{1} \cdot b_{1}}) = g W

Nachdem man dann alles zusammengesetzt hat kommt man nach einiger Rechnerei auch auf oben angegebene Formel.

exitus aktiv_icon

22:41 Uhr, 11.06.2013

vielen dank für die Antworten
ich werde versuchen zu verstehen wie ihr vorgegangen seid und wo meine Fehler lagen.
Das könnte ein bisschen dauern.

Beim ersten Bild ist mit dem Punkt ein Fehler unterlaufen. Ich werde es richten, entschludigung für die entstandene Verwirrung.

Nochmals
danke Vielmals

@Matlog
Ja, mit dem

\frac{180}{π}

wollte ich Bogenmass in Gradmass umrechnen.
(Mein Taschenrechner gab immer ne Fehlermeldung raus. Ich habe dann rumgetestet und auf Wikipedia einen Hinweis gelesen, dass dort der Fehler liegen könnte...)

exitus aktiv_icon

22:23 Uhr, 13.06.2013

Ich hab mich nun damit genauer auseinander gesetzt, und ein paar Test gemacht.
Ich denke jetzt weiss ich wo meine Fehler lagen.

Ich habe noch ein paar folge Fragen, diese versuche ich aber zunächst selber herauszufinden, mit diesen Antwort habe ich (hoffentlich) genügend Hinweise. Ansonsten melde ich mich nochmals.

nochmals vielen Dank für die genauen erklärungen und den Lösungsweg.

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