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Winkel zwischen Vektoren aus Polarkoordinaten...

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt, Vektor, Winkel

Panavia aktiv_icon

22:30 Uhr, 22.04.2009

Hallo ich habe ein paar Schwierigkeiten und evtl. ein Verständnisproblem beim Ausrechen des Winkels zwischen zwei Vektoren...

Also gegeben sind die beiden Vektoren:

$^{}$ $\vec{a} = (\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin (α) \cdot \sin (β) \\ \cos (β) \cdot \sin (α) \\ \cos (α) \end{matrix})$ $\vec{b} = (\begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ \sin (α) \\ \cos (α) \end{matrix})$

Nun hatte ich vor den Winkel zwischen den beiden Vektoren mit Hilfe des Skalarproduktes zu berechnen:

$\cos (φ) = \frac{| \vec{a} \cdot \vec{b} |}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} + z_{a} \cdot z_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}} \cdot \sqrt{x_{b}^{2} + y_{b}^{2} + z_{b}^{2}}} = \frac{{\sin (α)}^{2} \cdot \cos (β) + {\cos (α)}^{2}}{\sqrt{{(\sin (α) \cdot \sin (β))}^{2} + {(\cos (β) \cdot \sin (α))}^{2} + {\cos (α)}^{2}} \cdot \sqrt{{\sin (α)}^{2} + {\cos (α)}^{2}}}$

Offensichtlich bin ich ein wenig zurückhaltend mit dem Kürzen des Nenners.´

$\sqrt{{\sin (α)}^{2} + {\cos (α)}^{2}}$

ergibt wohl 1 und wie ich den Rest weiter runterkürzen kann, bin ich mir nicht sicher...

Nicht desto weniger bekomme ich bei den Berechnung auch falsche Werte. Ist der Ansatz denn richtig? Git es einen eleganteren Weg hier weiter zu kommen?

Ich wäre Euch dankbar, wenn Ihr mir einen ausfühlichen Lösungsweg geben könntet!

Vielen Dank!

Gruß, Tobias

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

22:40 Uhr, 22.04.2009

Keine Frage ?^^

pwmeyer aktiv_icon

08:31 Uhr, 23.04.2009

Hallo,

im Zähler sollte stehen:

cos (β) \cdot {sin (α)}^{2} + {cos (α)}^{2}

(Druckfehler?)

Unter der ersten Wurzel im Nenner erhältst Du:

{sin (α)}^{2} \cdot [{sin (β)}^{2} + {cos (β)}^{2}] + {cos (α)}^{2} = 1

Gruß pwm

Panavia aktiv_icon

20:11 Uhr, 23.04.2009

Hallo, danke für die schnelle Antwort.

Mit dem Ausdruck im Zähler hast Du natürlich recht. Das war ein Druckfehler und sollte $\cos (β) \cdot {\sin (α)}^{2} + {\cos (α)}^{2}$ heißen.

Wenn sich im Nenner alles auf 1 kürzt komme ich zwar nicht auf das Ergebnis, was ich erwartete aber gut. Wenn's so ist...

Sollte das stimmen und ich stelle $φ$ frei indem ich den Ausdruck im Nenner mit arccos multipliziere, kürzt sich dann noch was weg (sprich $\cos^{-1} (\cos (β) \cdot {\sin (α)}^{2} + {\cos (α)}^{2})$ ?

Danke nochmal!

Gruß, Tobias

Panavia aktiv_icon

10:13 Uhr, 25.04.2009

Guten Morgen,

sind die Fragen so banal, dass keiner Lust hat darauf zu antworten. Ich komme leider mit der Formel nicht auf das gewünschte Ergebnis. Sie sollte bei einem Extrem mit $α = 0$ und $β = 90$ den Wert 0 zurück geben und beim anderen mit $α = 90$ und $β = 0$ den Wert 90 (so wie bei $\sin^{-1} (\sin (α) \cdot \cos (β))$ .

Dann habe ich noch eine Steigerung des Ganzen...

Es geht darum , dass ich den Winkel zwischen einem Vektor und einem Normalenvektor berechnen möchte.

Mein Normalenvektor ist gegeben durch:

$_{}$ $\vec{a} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin (α) \cdot \sin (β) \\ \sin (α) \cdot \cos (β) \\ \cos (α) \end{matrix})$

Und der Vektor zu dem der Winkel bestimmt werden soll durch:

$_{}$ $\vec{b} = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ {\begin{matrix} z \end{matrix}}_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ \sin (\begin{matrix} γ \end{matrix}) \\ \cos (γ) \end{matrix})$

Mein Ansatz ist jetzt wie zuvor:

$_{}$ $\cos (φ) = \frac{| \vec{a} \cdot \vec{b} |}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Also mit:

$\cos (φ) = \frac{\sin (α) \cdot \cos (β) \cdot \sin (γ) + \cos (α) \cdot \cos (γ)}{\sqrt{{(\sin (α) \cdot \sin (β))}^{2} + {(\sin (α) \cdot \cos (β))}^{2} + {\cos (α)}^{2}} \cdot \sqrt{{\sin (γ)}^{2} + {\cos (γ)}^{2}}}$

Könnt Ihr mir wenigstens sagen, ob das der richtige Ansatz ist? Und wenn's geht, ob es da eine elegantere und kürzere Schreibweise gibt?

Vielen Dank, und ein schönes Wochenende!

Gruß, Tobias

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