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Winkel zwischen komplexen Zahlen

Schüler

Tags: Komplexe Zahlen, Winkel

Sabine2 aktiv_icon

15:45 Uhr, 11.04.2013

Hallo,
ich habe eine Frage, die sich auf Winkel zwischen komplexen Zahlen bezieht.
arc(z)

= φ

sei der Winkel, den

z \in ℂ

mit der Realachse einschließt. Wir haben nun gezeigt, dass arc(

\frac{z_{2}}{z_{1}})

mit

z_{1,2} \in ℂ

den Winkel zwischen den komplexen Zahlen

z_{1}

und

z_{2}

angibt. Dieses setzt voraus, dass

φ_{2}

(=arc(

z_{2})) > φ_{1} (=

arc

(z_{1}))

ist.

Nun kann es ja sein, dass

φ_{2} < φ_{1}

ist. Was macht man dann? Wie definiert man den Winkel zwischen zwei komplexen Zahlen? Stets den kleineren, oder den größeren?

Und wenn ich

z_{1} = 2 + 3 \cdot i

und

z_{2} = - 2 - 4 \cdot i

habe, dann haben wir als Winkel dazwischen

\approx 1,0396 π

raus. Rechnerisch kommt mann aber auf

0,0396 \cdot π

. Was wurde da gemacht?

Gibt es sowas wie ein allgemeines Vorgehen, wie man solche Winkel bestimmen kann?

Lieben Gruß und Danke!
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

20:12 Uhr, 11.04.2013

. .

. wie bei den Vektoren kannst du auch hier den einschließenden Winkel berechnen über:

cos (φ) = \frac{\vec{z_{1}} ⋆ \vec{z_{2}}}{| \vec{z_{1}} | \cdot | \vec{z_{2}} |}

Für dein Beispiel ergibt sich:

cos (φ) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \end{matrix}) |} = \frac{(2 \cdot - 2) + (3 \cdot - 4)}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}} = \frac{- 16}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{20}}

φ = 3,0172 ... = 0,9604 ... \cdot π

so bekommst du immer den kleineren eingeschlossenen Winkel. Dein berechneter Winkel ist ja der größere Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Denn du hast die Differenz der Winkel der Vektoren in positiver Umlaufrichtung zur realen Achse berechnet.

;-)

Sabine2 aktiv_icon

20:12 Uhr, 12.04.2013

Aber genau so ist der Winkel doch definiert, oder nicht? In POSITIVER Umlaufrichtung.
Betrachten wir mal das Beispiel einer einzigen komplexen Zahl, dann ist der Winkel zur Re(z)-Achse doch stets 0<=Winkel<2*pi. Und NIE negativ. Oder ist das einfach nur eine Festlegung meines Lehrers, die keine allgemeine Gültigkeit hat?

Edddi aktiv_icon

12:14 Uhr, 13.04.2013

Eigentlich bedienen sich die Hauptlösungen aus dem Intervall

- π < φ \leq π

.

Ein Winkel

φ > 180

° ist dann eigentlich

180

- φ

Somit gäbe man den Winkel

\frac{3}{2} π

als

- \frac{π}{2}

an.

Generell lassen sich alle Winkel

φ + 2 \cdot k \cdot π

derselben Zahl

z

zuordnen.

Wegen der Eindeutigkeit schränkt man die Hauptlösungen aber wie oben gezeigt ein.

;-)

Sabine2 aktiv_icon

12:21 Uhr, 13.04.2013

Ist in meinem Schulbuch anders definiert, da arbeitet man mit

0 \leq φ < 2 \cdot π

iidefix aktiv_icon

11:10 Uhr, 15.04.2013

Hi,

so weit mir bekannt, arbeiten Schulbücher meistens mit Winkeln von der positiven x-Achse weg in positivem Umlaufsinn (also gegen den Uhrzeigersinn).
(das heißt von der Achse, die nach rechts zeigt im Koordinatensystem nach oben weg)

Damit kannst du dir beide Winkel berechnen und dann drauf achten, welcher größer und welcher kleiner ist und dich dann an den positiven Umlaufsinn halten.

Sabine2 aktiv_icon

21:20 Uhr, 15.04.2013

Danke euch! :-)

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