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Winkelberechnung aus Rotationsmatrix

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Sonstiges

Tags: Matrix, Rotation, umformung, Winkel

Rob-Man aktiv_icon

16:19 Uhr, 11.02.2010

So, bin immern och bei der Berechnung des Drehwinkels. Allerdings bin ich jetzt so weit das ich die Drehmatrix ermittelt habe, und weiß mit welchem Vektor ich diese multiplizieren muss.

Hintergrund:
Im Prinzp möchte ich herrausfinden wie nun mein neues Koordinatensytem gedreht ist. Zum test habe ich einen [0,0,Z] Vektor mit mir bekannten Drehungen multipliziert und damit meinen Zielvektor erhalten. Die experimentell ermittelten Drehungen muss ich allerdings automatisiert berechnen, muss also die Drehmatrix umformen.

Rotationsmatrix um den Ursprung (A): (Bild siehe unten)

Zu rotierender Vektor (a):

$\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ Z \end{matrix}$

ZielVektor (b):

$\begin{matrix} \bar{X} \\ \bar{Y} \\ \bar{Z} \end{matrix}$

Rechnung:

A x a = b

Durch meinen Zeilvekto bedeutet dies natürlich bei der Umformung das einiges weg fällt. Ich konnte $α$ auch schon auf folgendes reduzieren.

$\tan^{-1} (\frac{\bar{Z} \div Z}{\cos (β)}) = α$

Dann mach ich aber schlapp. Auch denke ich das es eien solche Umformung eigentlich irgend wo geben müsste, finde aber leider nischt im Netz. Kann mir da jemand helfen, bitte?

Ewalds Screenshot Rectshot 11_2_2010 15_58_23

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Rob-Man aktiv_icon

13:39 Uhr, 12.02.2010

Keiner?

Also Ihr würdet mir wirklich helfen, wenn jemand weiter wüsste.

michaL aktiv_icon

14:01 Uhr, 12.02.2010

Hallo Karsten,

du solltest zunächst die Achse finden, um die gedreht wird. Alle Vektoren der Drehachse sind Fixvektoren, maW Eigenvektoren zum Eigenwert 1 (sofern es sich bei der Abbildung um eine reine Drehung handelt).
Ergänzt du einen normierten Eigenvektor zum EW 1 durch orthogonale Einheitsvektoren zu einer Basis

B

(auf Rechtssystem achten), dann hat die Matrix bzgl.

B

die folgende Gestalt:

1 0 0

0 \cos (α) - \sin (α)

0 \sin (α) \cos (α)

Daran kannst du den Drehwinkel sofort ablesen.
Beim Erstellen einer orthonormalen Basis hilft dir sicher Gram-Schmidt. Das Achten auf ein Rechtssystem ist Frage des Determinantenvorzeichens (oder allgemeiner des Spatproduktvorzeichens).

Ich hoffe, das wars, wonach du eigentlich gefragt hattest. Die Tatsache, dass die hier niemand geholfen hat, kann aus meiner Sicht mehrere Gründe haben:
* Frage unverständlich
* Frage uninteressant
* keine Zeit
*...

Mfg Michael

Rob-Man aktiv_icon

16:32 Uhr, 12.02.2010

Also das Problem ist das mein Vektor um alle drei Achsen gedreht wird.

X \to Y \to Z .

Den Anfangs und Zielvektor weiß ich, nur nicht die jeweiligen Drehwinkel um die einzelnen Achsen.
Fasst man alle drei Drehungen zusammen kommt man auf die oben genannte Matrix. Nur die Umformung zu den Winkeln hin, gelingt mir nicht.

Die Matrix die du angeführt hast sieht schwer nach der Drehmatrix um

X

aus. Das Problem ist, das ich für die Drehugn nur um

X

keinen Zielvektor habe. Deswegen muss ich um alle drei Achsen gleichzeitig drehen.

Ich weiß auch im Moment nicht wie ich die Frage besser formulieren soll, fragt mich bitte wenn ich das ganze zu einseitig beschreibe/formuliere.

Aber danke schon mal für eine erste Antwort.

Edit:
Da fällt mir noch was ein. Vielelicht macht es das klarer. Ich will im Grunde den Vektor nicht drehen, sondern das ganze Koordinatensystem. Nur berechnen tu ich es in dem ich den Vektor im neuen Koordinatensystem nehme um die Drehung zu berechnen.

Rob-Man aktiv_icon

09:34 Uhr, 15.02.2010

Wirklich keiner der mir da helfen kann?

ahmedhos aktiv_icon

21:54 Uhr, 23.02.2010

Ok, du drehst einen Vektor um die drei Achsen. Ich hab versucht allein rumzuspielen, vielleicht kommt was vernuenftiges raus!

Sagen wir zuerst: Wir haben den Ortsvektor

\vec{r} (x, y, z) = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]

im Raum. Der Ortsvektor

\vec{r} (x, y, z) = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]

hat Projektionen, die die Winkel

β_{x}, β_{y}

und

β_{z}

zu den Achsen haben. Man beschreibt den Ortsvektor in den "erfundenen" Koordinaten:

\vec{r} (x (ρ, β_{x}, β_{z}), y (ρ, β_{x}, β_{z}), z (ρ, β_{y})) = [\begin{matrix} ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot cos (β_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot sin (β_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{y}) \end{matrix}]

| \vec{r} | = ρ

und das ist dein Ausgangsvektor. Sagen wir der Vektor wird jetzt um

φ_{x}, φ_{y}

und

φ_{z}

(die Unbekannten) gedreht.

\Rightarrow \vec{r} = [\begin{matrix} ρ \cdot cos (β_{x} + φ_{x}) \cdot cos (β_{z} + φ_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{x} + φ_{x}) \cdot sin (β_{z} + φ_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{y} + φ_{y}) \end{matrix}] = ρ \cdot [\begin{matrix} [cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) - sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x})] \cdot [cos (β_{z}) \cdot cos (φ_{z}) - sin (β_{z}) \cdot sin (φ_{z})] \\ [cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) - sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x})] \cdot [cos (β_{z}) \cdot sin (φ_{z}) + cos (φ_{z}) \cdot sin (β_{z})] \\ cos (β_{y}) \cdot cos (φ_{y}) - sin (β_{y}) \cdot sin (φ_{y}) \end{matrix}]

= ρ \cdot [\begin{matrix} cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) \cdot cos (β_{z}) \cdot cos (φ_{z}) - sin (β_{z}) \cdot sin (φ_{z}) \cdot cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) - sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x}) \cdot cos (β_{z}) \cdot cos (φ_{z}) + sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x}) \cdot sin (β_{z}) \cdot sin (φ_{z}) \\ cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) \cdot cos (β_{z}) \cdot sin (φ_{z}) - sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x}) \cdot cos (β_{z}) \cdot sin (φ_{z}) - sin (β_{x}) \cdot sin (φ_{x}) \cdot cos (φ_{z}) \cdot sin (β_{z}) + sin (β_{z}) \cdot cos (φ_{z}) \cdot cos (β_{x}) \cdot cos (φ_{x}) \\ cos (β_{y}) \cdot cos (φ_{y}) - sin (β_{y}) \cdot sin (φ_{y}) \end{matrix}]

Ich wuerde sagen, dass du 6 Gleichungen und 6 Unbekannte hast.

ahmedhos aktiv_icon

22:12 Uhr, 23.02.2010

Mit dem Originalvektor hast du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte:

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot cos (β_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot sin (β_{z}) \\ ρ \cdot cos (β_{y}) \end{matrix}]

\Leftrightarrow

ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot cos (β_{z}) = x

II)

ρ \cdot cos (β_{x}) \cdot sin (β_{z}) = y

III)

ρ \cdot cos (β_{y}) = z

Loesung:
Aus III)

\Rightarrow cos (β_{y}) = \frac{z}{ρ} \Leftrightarrow β_{y} = a r c c o s (\frac{z}{ρ})

Aus II) durch I)

\Rightarrow \frac{sin (β_{z})}{cos (β_{z})} = tan (β_{z}) = \frac{y}{x} \Leftrightarrow β_{z} = a r c t a n (\frac{y}{x})

Aus Geometrie

\Rightarrow cos (β_{x}) = \frac{1}{ρ} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Leftrightarrow β_{x} = a r c c o s (\frac{1}{ρ} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}})

und

ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

ahmedhos aktiv_icon

22:25 Uhr, 23.02.2010

Das 2.Gleichungssystem ist schwieriger, aber geht genauso!

=)

x' = ρ \cdot cos (β_{x} + φ_{x}) \cdot cos (β_{z} + φ_{z})

II)

y' = ρ \cdot cos (β_{x} + φ_{x}) \cdot sin (β_{z} + φ_{z})

III)

z' = ρ \cdot cos (β_{y} + φ_{y})

Aus III)

\Rightarrow β_{y} + φ_{y} = a r c c o s (\frac{z'}{ρ}) \Leftrightarrow φ_{y} = a r c c o s (\frac{z'}{ρ}) - β_{y}

Aus II) durch I)

\Rightarrow \frac{sin (β_{z} + φ_{z})}{cos (β_{z} + φ_{z})} = tan (β_{z} + φ_{z}) = \frac{y'}{x'} \Leftrightarrow β_{z} + φ_{z} = a r c t a n (\frac{y'}{x'}) \Leftrightarrow φ_{z} = a r c t a n (\frac{y'}{x'}) - β_{z}

und auf analogerweise muesste auch

φ_{x} = a r c c o s (\frac{1}{ρ} \cdot \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}) - β_{x}

ahmedhos aktiv_icon

23:05 Uhr, 23.02.2010

Ich nehme ein Beispiel zur Ueperpruefung:

\vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]

ρ = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}

Aus der Geometrie:

β_{x} = a r c t a n (2) = 63,42

°
Aus der hergeleiteten Formel:

β_{x} = a r c c o s (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}}) = 32,31

°
Aus der Geometrie:

β_{y} = a r c t a n (\frac{3}{2}) = 56,31

°
Aus der hergeleiteten Formel:

β_{y} = a r c c o s (\frac{2}{\sqrt{14}}) = 57,69

°
Aus der Geometrie

β_{z} = a r c t a n (\frac{1}{3}) = 18,43

°
Aus der hergeleiteten Formel:

β_{z} = a r c t a n (\frac{1}{3}) = 18,43

°

Nur

β_{z}

stimmt sonst nicht, da muss ich was oben bei der Berechnung versaut haben!

Das mit

β_{x}

und

β_{y}

wird eher niemals klappen

. .

ahmedhos aktiv_icon

23:47 Uhr, 23.02.2010

Hi,

Ich versuche die Frage hier zu bearbeiten. Du kannst es verfolgen. Falls es sich eine vernuenftige Loesung daraus ergibt, dann werden ich sie hier posten.

http//matheplanet.com/default3.html?topic=136338=60

lg,

Ahmed

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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