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Wurzeln ableiten

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitungsregeln

Ma-ri-on aktiv_icon

19:48 Uhr, 29.11.2011

Huhu :-)

Ich habe eine Frage.
Wie leitet man Wurzeln ab ?

Es gibt da ja diese Formel..

f'(x) = $\frac{1}{2} * \frac{A b l e i t u n g T e r m U n t e r D e r W u r z e l}{\sqrt{n o r m a l e r T e r m}}$

nur wie ist das wenn ich die dritte wurzel aus iwas habe ? ist das dann einfach $\frac{1}{3}$ * usw?

und wenn ich zb. $\sqrt{2 x}$ habe, dann ist das doch einfach ${2 x}^{\frac{1}{2}}$ ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

whyn0t aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.11.2011

so ist es jede wurzel kann man als exponent schreiben und einfach stumpf die ableitungsregel anwenden solange man die innere ableitung nicht vergisst!!

\sqrt[k]{u (x)} = {(u (x))}^{\frac{1}{k}}

nach dem ableiten bekommt man also

\frac{1}{k} \cdot {(u (x))}^{\frac{1}{k} - 1} \cdot u' (x)

Ma-ri-on aktiv_icon

20:25 Uhr, 29.11.2011

oke
also so als beispiel..

f (x) = \sqrt{6 x - 1} = {(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(6 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 6

= 3 \cdot {(6 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}

f'' (x) = (- \frac{3}{2}) \cdot {(6 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}

hm.. iwas ist da doch falsch ?

: (

vulpi aktiv_icon

20:39 Uhr, 29.11.2011

Hi, auch da wieder Kettenregel, also MAL 6
Genauso wie dus ja bei der 1. Ableitung schon richtig gemacht hast :-)
lg

Ma-ri-on aktiv_icon

20:45 Uhr, 29.11.2011

:-) wow.
magisch !
danke

!!

:-)

Ma-ri-on aktiv_icon

20:58 Uhr, 29.11.2011

habe anhand dessen, was wir grade erarbeitet haben, versucht, einige aufgaben zu lösen und- habe glaube ich alles falsch!?

1)

f (x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

f' (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

laut Lösung:

\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}

2)

f (x) = \sqrt{x^{3}} = {(x^{3})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

f' (x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}

laut Lösung:

3 \cdot \sqrt{\frac{x}{2}}

3)

f (x) = 8 \cdot \sqrt{x} - 2 \cdot \sqrt[4]{x} = 8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{4}}

f' (x) = 4 \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{4}}

laut Lösung:

(\frac{4}{\sqrt{x}}) - (\frac{1}{2 \cdot \sqrt[4]{x^{3}}})

Was mache ich bloß falsch ?!?:(

vulpi aktiv_icon

21:13 Uhr, 29.11.2011

Hi !
Deine Lösungen sind nicht falsch, ist nur 'ne andere Schreibweise.

Beispiel

1)

\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}

Negativer Exponent

\Rightarrow

Division
Also =

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

X^{\frac{2}{3}} = {(x^{2})}^{\frac{1}{3}} |

Potenzregel

x^{a \cdot b} = {(x^{a})}^{b}

= \sqrt[3]{x^{2}} |

hoch

(\frac{1}{3})

ist das selbe wie

\sqrt[3]{}

Macht also insgesamt

\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}

lg

Bei der Lösung

2)

hast du dich wohl vertippt, die müßte

3 \frac{\sqrt{x}}{2}

lauten, was
auch wieder dei Ergebnis ist.

lg

whyn0t aktiv_icon

21:13 Uhr, 29.11.2011

Allgemein:

x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{\sqrt[b]{x^{a}}}

also ist wenn man es umschreibt
die 1 richtig
die 2 ist richtig aber die musterlösung falsch es müsste wenn überhaupt

3 \cdot \sqrt{\frac{x}{4}}

heißen

und die 3 stimmt auch wieder

Ma-ri-on aktiv_icon

21:32 Uhr, 29.11.2011

:-) ok das beruhigt mich ein wenig :-)
ich denke , dass ich mir noch mal die Wurzelgesetze ansehen müsste !

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