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Zwei Kugeln Schnittebene Schnittkreis?
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Ebene, Kugel, Vektorgeometrie
 
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Hallo, ich muss für morgen eine Aufgabe vorbereiten scheitere aber an den nicht vorhandenen Formeln bzw. Ansätzen... Aufg. Gegeben sind zwei Kugeln K1 und K2 durch ihre Mittelpunkte und Radien.Die Kugeln schneiden sich.Gesucht ist die Gleichung ihrer Schnittebene E. Bestimmten sie außerdem den Mittelpunkt M des Schnittkreises der Kugeln. K1: M(2/1/4) und r:34 K2: M(30/15/32) und r: 20 Wäre sehr nett wenn mir jemand dabei helfen könnte,ich weiß absolut nicht was ich machen soll......ist sehr wichtig,da ich es morgen können muss lg carrie |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) |
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Hallo, das kann man ganz formal machen und einfach beide Gleichungen aufstellen und das Gleichungssystem lösen. Das gibt aber eine wüste Rechnerei, also denkt man sich was anderes aus. Ich stelle mir die beiden Kugeln im Raum vor. Dann "sehe" ich eine Gerade durch beide Mittelpunkte. Egal wie ich einen zweidimensionalen Schnitt durch diese beiden Kugeln lege, wenn die Verbindungsgerade durch die beiden Mittelpunkte in dieser Schnittebene liegt, dann erhalte ich das selbe Schnittbild: Zwei sich schneidende Kreise. Der eine Kreis hat einen Radius von 34, der andere einen Radius von 20 und der Abstand der beiden Kreismittelpunkte beträgt 42 = sqrt((30-2)^2 + (15-1)^2 + (32-4)^2). Die gesuchte Schnittebene ist in diesem Schnitt eine Gerade, die orthogonal auf der Verbindungsgeraden liegt, genauso wie die Schnittebene othogonal darauf steht. Oder besser umgekehrt: Die Verbindungsgerade steht orthogonal auf der Schnittebene. D.h. der Vektor der Verbindungsgeraden steht orthogonal auf den beiden Vektoren der Schnittebene. Der Verbindungsvektor ist (28/14/28). Die orthogonalen Vektoren sind eindeutig beschrieben durch: 28*x_1 + 14*x_2 + 28*x_3 = 0 Die Gleichung der Ebene ist also: 28*x_1 + 14*x_2 + 28*x_3 = e Die Ebene wird dadurch beschrieben, daß man einen Punkt der Ebene findet und den in diese Gleichung einsetzt und e somit ermittelt. Dann erhält man nur noch dann die 0 auf der rechten Seite, wenn der Koordinatenursprung ebenfalls in dieser Ebene liegt. Welchen Punkt wollen wir berechnen? Ich würde sagen: den Mittelpunkt des Schnittkreises, denn der ist ja sowieso gesucht. Der Mittelpunkt des Schnittkreises liegt aus Symmetriegründen ebenfalls auf der Verbindungsgeraden zwischen den beiden Kugelmittelpunkten. Der Abstand des Schnittpunktes der beiden Kreise von der Verbindungsgeraden (gleich dem Radius des Schnittkreises) sei mal mit h bezeichnet, denn es stellt sich wie die Höhe eines Dreiecks in unserem Bild dar. In diesem Dreieck aus den beiden Kugelmittelpunkten und dem Schnittpunkt der beiden Kreise ist die Gerade der Schnittebene gerade die Gerade, auf der unsere Höhe h liegt. Das Dreieck wird in zwei kleinere dreieck geteilt, die beide rechtwinlig sind. In diesen beiden Dreiecken gilt c_1^2 + h^2 = 34^2 ; Teildreieck im größeren Kreis c_2^2 + h^2 = 20^2 ; Teildreieck im kleineren Kreis c_1 + c_2 = 42 --> c_2 = 42 - c_1 ; Abstand der Kugelmittelpunkte c_1^2 + h^2 = 34^2 --> h^2 = 34^2 - c_1^2 = 1156 - c_1^2 (42 - c_1)^2 + h^2 = 20^2 --> h^2 = 20^2 - 42^2 + 84*c_1 - c_1^2 = -1364 + 84*c_1 - c_1^2 1156 - c_1^2 = -1364 + 84*c_1 - c_1^2 2520 = 84*c_1 c_1 = 30 Der Abstand des gesuchten Schnittkreismittelpunktes vom Kugelmittelpunkt von K1 beträgt also 30. Damit ist (jetzt werden wir wieder vektoriell) Der Schnittkreismittelpunkt bestimmt durch: 0K1 + 30/42*(0K2-0K1) = (2/1/4) + 5/7*(28/14/28) = (2/1/4) + (20/10/20) = (22/11/24) Jetzt setzen wir das mal in die Ebenengleichung ein: 28*22 + 14*11 + 28*24 = 616 + 154 + 672 = 1442 Die Ebenegleichung lautet: 28*x_1 + 14*x_2 + 28*x_3 = 1442 Der Schnittkreismittelpunkt ist (22/11/24). |
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hallo, vielen vielen dank.im großen und ganzen konnte ich dem folgen doch was heißen die * und die _ ? sry ich kenn mich mit den pc abkürzungen nicht so aus... Wo genau bzw. wie bist du nochmal auf die Verbindungs. gekommen mit 28/../.? Danke und lg |
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Hallo, die einzigen "*" die ich benutzt habe stehen an Stellen, an denen man sich eigentlich denken können müßte, was sie bedeuten. Und mit PC hat das gar nichts zu tun, schau mal auf Deinen Taschenrechner... Ich arbeite hier im Forum trotz der vorhandenen Möglichkeiten lieber nur im Textmodus. Das hat verschieden Gründe: 1. Kann das jede(r) von jedem Rechner aus lesen, sie/er muß keine zusätzliche Software installieren oder runterladen, was in Internet-Cafe's auch i.d.R. nicht so leicht möglich ist. Außerdem kann ich so auch von meinem Mobiltelefon aus von unterwegs Antworten. 2. Und das ist der Hauptgrund: Das Forum verändert sich, wird moderner. So gab es vor Jahren schon einen Formeleditor hier, der allerdings mit der Umstellung in 2007 beim Suchen in alten Threads statt Formeln den Text und die ganzen Tags angezeigt hat. Das haben die Forenbetreiber inzwischen in den Griff bekommen und sogar ehemals gemischte Posts (bestanden aus Text und Formel gemischt) werden nun wieder korrekt angezeigt. Was aber, wenn sie es bei einer späteren Umstellung nicht mehr so gut packen können, weil das neue bessere Superprogramm so etwas gar nicht vorsieht oder den jetzigen Formeleditor zum Import der Daten gar nicht vorsieht? Dann sind alle vorherigen so geschriebenen Posts nicht mehr (gut oder gar korrekt) lesbar. Sämtliche bis dahin erfundenen Fahrräder müssen mühsam neu erfunden werden. So benutze ich den in solchen Fällen oft benutzten "Unterstrich" "_", um damit tiefergestellte Indizes zu kennzeichnen. Dieses Zeichen dient im Übrigen in Formeleditoren i.d.R. genau dazu, daß man nicht mit Tastenkombinationen oder der Maus vom Normalmodus in den Indexmodus (Tiefgestellt und kleiner) wechseln muß, sondern mit dieser einfachen Methode die doch häufigen Indizes setzen kann. "Wo genau bzw. wie bist du nochmal auf die Verbindungs. gekommen mit 28/../.?" (28/14/28) ist nicht die Verbindungsgerade, sondern nur ein Richtungsvektor dieser Gerade und wie man bei zwei gegebenen Punkten (den Mittelpunkten der Kugeln) auf einen Richtungsvektor der Verbindungsgerade kommt, ist eine der ersten Übungen bei Vektoren. Das ist so grundlegend, daß ich es Dir nicht sagen werde, denn wenn Du es doch tatsächlich nicht weißt, dann solltest Du es mal heraussuchen. Glaube mir, danach wirst Du das so schnell nicht wieder vergessen! |
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| danke,fürs antworten und rechnen. |
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