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Zweite Ableitung (implizites Differenzieren)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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08:11 Uhr, 21.12.2012

Hi

Wir sollen

y +

siny

= x

zweimal implizit differenzieren.

Für die erste Ableitung komme ich auf:

y' +

(siny)'

= x' \Rightarrow

y' + cos (y) \cdot y' = 1 \Rightarrow

y' = \frac{1}{cos (y) + 1}

Doch für die zweite Ableitung komme ich nicht weiter.

Ich würde mit der Quotientenregel wie folgt vorgehen:

y'' = \frac{(cos (y) + 1)' + (cos (y) + 1)}{{(cos (y) + 1)}^{2}} \Leftrightarrow y'' = (- sin (y) y' +

cos+1)/(cos^2y+2cosy+1)

..aber stimmt das soweit?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

funke_61 aktiv_icon

08:22 Uhr, 21.12.2012

Ich nehme mal an, die Aufgabe bestand darin, zweimal nach

x

abzuleiten.
Warum machst Du nicht einfach implizit weiter:

y' + cos y \cdot y' = 1

und jetzt nochmal jeden Summanden einzeln nach

x

ableiten, das ist doch viel einfacher, als mit der Quotientenregel
;-)

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08:28 Uhr, 21.12.2012

Ausserdem hast Du die Quotientenregel falsch angewendet.

Miausch aktiv_icon

08:31 Uhr, 21.12.2012

Hab doch in der ersten Zeile geschrieben, worum die Aufgabe ging :-D)
;-)

Gut, du hast völlig recht, also:

y' +

cosyy'

= 1

y'' -

siny*(y')^2

+ cos (y) y'' = 1

Stimmt das so weit? Wo ich mir nicht ganz sicher bin, ist bei der Ableitung von

y'

y'

ist ja

(y (x))',

gibt das nicht

y (x)'' \cdot y (x) = y'' \cdot y

wenn ich das ableite?

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08:38 Uhr, 21.12.2012

y' + cos y \cdot y' = 1

cos y \cdot y'

abzuleiten, einfach stur die Produktregel anwenden, also:

y'' + ((- sin y) \cdot y') \cdot y' + cos y \cdot y'' = 0

y'' - sin y \cdot y'^{2} + cos y \cdot y'' = 0

Also sollte Deine zweite implizite Ableitung (bis auf die 1 rechts, die natürlich zu 0 wird) stimmen ;-)

funke_61 aktiv_icon

08:42 Uhr, 21.12.2012

Deinen letzen Satz versteh ich leider nicht

: - (

wenn ich

y' \cdot y'

ableiten würde, bekäme ich mit der Produktregel

y'' \cdot y' + y' \cdot y'' = 2 \cdot y'' \cdot y'

aber dies war nicht Teil dieser Aufgabe.

Vorsicht: jetzt erst habe ich bemerkt, dass Du bei Diener 2. impliziten Ableitung oben noch einen Flüchtigkeitsfehler auf der rechten Seite stehen hast

. .

.
;-)

Miausch aktiv_icon

09:01 Uhr, 21.12.2012

Vielen Dank!
Nein, das war ein Typo: Meine Frage ist, wie ich

(y (x))'

ableite..ich wollte wissen ob das einfach

(y (x))''

gibt, oder ob das ev.

(y (x))'' \cdot (y (x))'

gibt?
Wie ich sehe gibt das Ersteres, aber ich sehe noch nicht genau warum

funke_61 aktiv_icon

09:06 Uhr, 21.12.2012

das liegt daran, dass

((y (x))')'

nichts anders bedeutet als die "erste Ableitung nach

x

" nochmal nach

x

abzuleiten.
Nachdifferenzieren (Also die Kettenregel anwenden) ist dann nicht mehr notwendig, bzw. ergibt die 1.
denn wenn Du

f (x) = x

ableitest ergibt sich

f' (x) = 1

:-)

Beim Ableiten von

cos y \cdot y'

wurde ja zuerst

cos y

nach

y

abgeleitet,
das ist

(- sin y)

dann noch

y

nach

x

nachdifferenzieren (Kettenregel anwenden),
das ist

y'

Dazu wird nach der Produktregel

y'

als Faktor "dazugeschrieben"

Dann den zweiten Suummanden der Produktregel:

cos y

"stehen lassen"
und

y'

nach

x

ableiten,
ergibt

y''

also:

(cos y \cdot y')' = (- sin y \cdot y') \cdot y' + cos y \cdot y''

Miausch aktiv_icon

09:19 Uhr, 21.12.2012

Danke, du hast sehr geholfen :-)

funke_61 aktiv_icon

09:20 Uhr, 21.12.2012

bitteschön :-)

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