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e-Funktion: Steigung, Tangente, Normale

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion

annyone aktiv_icon

15:55 Uhr, 31.05.2009

Musste nochmal ändern:

Hallo, ihr Lieben, ich bin ganz neu hier und brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Graphen von

f (x) = e

hoch

x

und

g (x) = e

hoch

(0.5 x)

besitzen an einer einzigen Stelle

x

die gleiche Steigung.

a)

Wo liegt diese Stelle

b)

Wie lautet die Gleichung der Normalen von

f

an dieser Stelle

Mein ansatz:

Ich habe beide Graphen skizziert und bin der Meinung, dass beide Graphen den gleichen Funktionswert an der Stelle

O

haben (sie schneiden sich im Punkt

(0 - 1))

, um nun die Stelle zu finden, an dem beide Graphen die gleiche Steigung haben, habe ich beide Ableitungen gleichgesetzt:

f' (x) = g' (x)

e

hoch

x = 0.5 e

hoch

(0.5 x)

und jetzt komme ich leider nicht zum Erbenis, da ich den Punkt irgendwie nicht erreiche, an dem ich den natürlichen Logarithmus

(ln)

anwenden kann....

und

b)

weiß ich nur, dass die Normale orthogonal zur Steigungstangente ist

: (

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet!!!

Eure Anika

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

16:01 Uhr, 31.05.2009

Hallo,
dividiere deine Gleichung durch

e^{0, 5 x}

Gruß Astor

BjBot aktiv_icon

16:01 Uhr, 31.05.2009

Hallo Anika,

du könntest deine Gleichung durch

e^{0.5 x}

dividieren, vielleicht hilft dir das.
Man darf deswegen hier einfach so dividieren, da der Graph einer Exponentialfunktion immer oberhalb der x-Achse verläuft, also niemals den y-Wert 0 annehmen kann.

Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht zu einer anderen Geraden (Tangente) steht und 2 Geraden stehen genau dann senkrecht zueinander wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt.
Die Steigung der Tangente kannst du ja durch a) bestimmen.

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

annyone aktiv_icon

16:12 Uhr, 31.05.2009

Lieber Björn, danke, dass du dir Zeit nimmst um meine Frage zu beantworten!

wenn ich

e

hoch

x

durch

e

hoch

0.5 x = 0.5

habe, wie komme ich dann aber zu dem punkt, an dem

e

hoch

x

alleine steht und ich den

ln

anwenden kann?

ich kann die Division sozusagen nicht ausrechnen

: (

BjBot aktiv_icon

16:15 Uhr, 31.05.2009

Dazu brauchst du das Potenzgesetz

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

Kannst du die Formeln eigentlich richtig lesen bei mir oder sieht das alles komisch aus ? Weil das kann passieren wenn du nicht diesen MathPlayer installiert hast oder nicht Firefox als Browser benutzt.

annyone aktiv_icon

16:22 Uhr, 31.05.2009

ja ich kann die formeln eigentlich nicht wirklich lesen, aber ich kann sie mir zusammenreimen...

also: a hoch

m

durch a hoch

n = a

hoch (m-n)??

also müsste rauskommen:

e

hoch

0.5 x = 0.5

oder?

und dann:

ln

von

0.5 = - 0.693

das nochmal durch

2 = - 3.46573

also haben sie die gleiche Steigung bei

x = - 3,46573

???????????

wenn das die lösung ist, springe ich in die luft!!!!

BjBot aktiv_icon

16:28 Uhr, 31.05.2009

Nicht "durch 2" sondern "mal 2"

0,5x=ln(0,5) <=> x=2 mal ln(0,5)

annyone aktiv_icon

16:46 Uhr, 31.05.2009

Ja natürlich, du hast recht also ist das ergebnis

x = - 1.386

nun zu

b)

Ermittlung der Steigung an der Stelle:

f' (- 1.386) = 0.25

Probe:

g' (- 1.386) = 0.5 e

hoch(

0.5

mal

- 1.386) = 0.25

JUHUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ehm..wie war das noch

das produkt der Steigungen von zwei orthogonalen Graphen ist

- 1

0.25 + x = - 1

x = - 1,25

ehm...

Gleichung linearer Funktion:

f (x) =

+ n

m

und

x

haben wir, aber wie krieg ich den y-Achsenabschnitt heraus?

x = 0

setzen????

BjBot aktiv_icon

16:51 Uhr, 31.05.2009

Statt x=-1,386 würde ich ruhig das exakte Ergebnis benutzen, also wie erwähnt x=2 mal ln(0,5) denn sonst kommst du auch niemal ganz glatt auf 0,25 sondern immer nur so ungefääähr und das wird sicher Punkteabzug in der Arbeit geben ;-)

Zu den Steigungen:

Ich sprach ja von "Produkt", du aber benutzt die "Summe" ;-)

annyone aktiv_icon

17:10 Uhr, 31.05.2009

oh...produkt ist mal oder?

exaktes Ergebnis:

x = - 1.386294361

XDDD

die Klausur habe ich schon hinter mir ( hab ne glatte 2 geschrieben,
war aber ein anderes Thema )

⊙ 25

mal

x = - 1

- 4 = x

oh man du musst mich für total bescheuert halten

: (

und was war nochmal mit "n"?

BjBot aktiv_icon

17:19 Uhr, 31.05.2009

Noch nicht mal x=-1,386294361 ist exakt, dein Taschenrechner hat halt nicht mehr Stellen =) Glaub es mir man kommt meistens immer weiter mit dem exakten Term, vielleicht hast du Glück und deinem Lehrer ist das egal aber in der Regel ist es eigentlich üblich mit den exakten Werten zu rechnen.

Deine Steigung stimmt jetzt, also ist die Steigung der Normalen m=-4 ---> y=-4x+n

Um jetzt noch an den y-Achsenabschnitt n zu kommen brauchst du noch einen Punkt, der auf jeden Fall auf dieser Normalen liegt. Und das ist gerade der Berührpunkt von Tangente und Graph von f, also der Punkt mit den Koordinaten (2 mal ln(0,5) | f(2 mal ln(0,5)))

annyone aktiv_icon

17:34 Uhr, 31.05.2009

ach Björn, du bist schon ein Engel :-D)

also krieg ich

n

durch lösen der gleichung

f

Normale

(- 1.386294361) = - 4 (- 1.386294361) + n

aber irgendwie weiß ich nicht was

y

jetzt genau ist, und ich brauche ja eine richtige Zahl um

n

auszurechnen-----

annyone aktiv_icon

17:38 Uhr, 31.05.2009

n

muss auf jeden Fall negativ sein... ich schätze mal zwischen-3 und-6

annyone aktiv_icon

19:32 Uhr, 31.05.2009

Lieber Björn...

Also ich habe jetzt für

n = - 5.795177444

herausbekommen... ich dachte mir nämlich, dass der Funktionwert an der Stelle

x = - 1.386

usw. bei

f (x)

und der Normalen der gleiche ist also

0.25

sprich:

0.25 = - 4 (- 1.386

usw.)

+ n

dann umgestellt etc etc.

was sagst du dazu?

annyone aktiv_icon

19:32 Uhr, 31.05.2009

Lieber Björn...

Also ich habe jetzt für

n = - 5.795177444

herausbekommen... ich dachte mir nämlich, dass der Funktionwert an der Stelle

x = - 1.386

usw. bei

f (x)

und der Normalen der gleiche ist also

0.25

sprich:

0.25 = - 4 (- 1.386

usw.)

+ n

dann umgestellt etc etc.

was sagst du dazu?

BjBot aktiv_icon

20:42 Uhr, 31.05.2009

Hi Anny,

da es dir im anderen Thread falsch ausgerechnet wurde schreibe ich dir nochmal eben.

Der Punkt, durch den die Normale verläuft ist (2 mal ln(0,5) | 0,25)

Es ergibt sich durch einsetzen:

0,25=-4 mal 2 mal ln(0,5)+n <=> n=0,25+8 mal ln(0,5) ~ -5,3

Demnach lautet die Normalengleichung dann y=-4x-5,3

Gruß Björn

annyone aktiv_icon

08:08 Uhr, 02.06.2009

Vielen Danke für die Beantwortung meiner Frage!!!!

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